Question

設(shè)a₁、a₂、a₃、a₄為自然數(shù)，集合A={a₁，a₂，a₃，a₄}，集合B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄，并滿足A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，A∪B中的所有元素之和為124，求集合A、B．

Answer 1

考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算

專題：集合

分析：先由條件求出a₁=1，a₄=9，故有 a₂=3或a₃=3，然后進(jìn)行代入驗(yàn)證即可．

解答： 解：由A∩B={a₁，a₄}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄ ，所以只可能a₁=a₁²，即a₁=1或a₁=0．
∵a₁，a₄是平方數(shù)，
∴由a₁+a₄=10，得a₁=1，a₄=9．
且a₄=9=a_i²（2≤i≤3），
若a₂²=9，即a₂=3，則1+3+a₃+9+（a₃²+81）=124．此時(shí)a₃=5或a₃=-6（舍去），此時(shí)A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．
若a₃²=9，即a₃=3，此時(shí)只能有a₂=2，則1+2+3+4+9+81≠124，不合題意，
故．A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合元素關(guān)系的判斷，綜合性較強(qiáng)，難度較大．