Question

【題目】已知.

（1）當(dāng)時，若函數(shù)在處的切線與函數(shù)相切，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時，記.證明：當(dāng)時，存在，使得.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)見解析.

【解析】分析：第一問將代入解析式，之后對函數(shù)求導(dǎo)，從而可以求得，結(jié)合，利用點(diǎn)斜式寫出切線的方程，之后再結(jié)合直線與拋物線相切的有關(guān)特征求得參數(shù)b的值；第二問結(jié)合題中的條件，轉(zhuǎn)化函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，向最值靠攏即可證得結(jié)果.

詳解：（Ⅰ）解：當(dāng)時，，

，故切線方程為．

設(shè)切線與相切的切點(diǎn)為，

故滿足方程組

解得，故．

（Ⅱ）證明：，

令，則

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

即恒成立，

或，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

．

只需證時，即可，

令

則，恒成立，

在上單調(diào)遞減.

，

在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，