Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調性；

（2）若，不等式有且只有兩個整數(shù)解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)在單調遞減；

當時，函數(shù)在單調遞增，在單調遞減；

當時，函數(shù)在單調遞增，在單調遞減。

（2）

【解析】

（1）對函數(shù)求導，根據(jù)a的不同范圍，分別求出導函數(shù)何時大于零，何時小于零，這樣就可以判斷出函數(shù)的單調性。

（2）不等式 可以化成，構造函數(shù)，

求導數(shù)和單調性，結合條件分別討論，三種情況下，可以求出滿足條件的a的取值范圍。

（1）函數(shù)的定義域為

② 當時， 函數(shù)在上是減函數(shù)；

②當時，，當時，函數(shù)單調遞增，

當時，，函數(shù)單調遞減。

③當時，，當時，，函數(shù)遞減，

當時，，函數(shù)單調遞增。

綜上所述：當時，函數(shù)在單調遞減；

當時，函數(shù)在單調遞增，在單調遞減；

當時，函數(shù)在單調遞增，在單調遞減。

（2）

令，求導得 令

所以是R上的增函數(shù)，而

說明函數(shù)在R上存在唯一零點

此時函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，

易證，

當時， ，當時，

（1）若時，，此時有無窮多個整數(shù)解，不符合題意；

（2）若時，即，因為函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增

所以時， ，所以無整數(shù)解，不符合題意；

（3）當，即此時， 故0，1是的兩個整數(shù)解，

又只有兩個正整數(shù)解，因此 ，解得所以

綜上所述的取值范圍為.