如圖，曲線C由半橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（y≥0）與圓弧x2+（y-c）2=a2（y≤0）組成的，F(xiàn)（0，c）為半橢圓的一個焦點，A1、A2和B1、B2分別是曲線C與x軸、y軸交點，已知橢圓的離心率e=
1
2
，S △FA1B1=
3
．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）過點F且不與x軸垂直的直線l交曲線C于P、Q兩點．
（i）求證：當且僅當P，Q均在半橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（y≥0）上時，△B1PQ的周長L取最大，且最大值為8；
（ii）當△B1PQ的周長L取最大時，求弦PQ長度的取值范圍．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件推導出
c
a
=
1
2
1
2
•2b•c=
3
a2=b2+c2
，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）（i）設直線l的斜率為k．當-
3
3
≤k≤
3
3
時，P，Q均在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，x≥0上，△B1PQ的周長L=|B1Q|+|FQ|+|FP|+|B1P|=4a=8；當k＜-
3
3
或k＞
3
3
時，P，Q其一在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1（x≥0）上，另一在圓弧x2+（y-c）2=a2（y≤0）上，由此求出△B1PQ的周長L=|B1Q|+|FQ|+|FP|+|B1P|＜8，從而得到證明．
（ii）解：由（i）知△B1PQ的周長L取最大時-
3
3
≤k≤
3
3
．設PQ的方程為y=kx+1（-
3
3
≤k≤
3
3
），P（x1，y1），Q（x2，y2），由
y=kx+1
y2
4
+
x2
3
=1
，得（4+3k2）x2+6kx-9=0，由此能求出弦PQ長度的取值范圍是[3，
16
5
]．
解答： （Ⅰ）解：依題意得
c
a
=
1
2
1
2
•2b•c=
3
a2=b2+c2
，
解得a=2，b=
3
，c=1．
（Ⅱ）（i）證明：設直線l的斜率為k．
當-
3
3
≤k≤
3
3
時，P，Q均在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，x≥0上，
∴△B1PQ的周長L=|B1Q|+|FQ|+|FP|+|B1P|=4a=8，（6分）
當k＜-
3
3
或k＞
3
3
時，P，Q其一在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1（x≥0）上，
另一在圓弧x2+（y-c）2=a2（y≤0）上，設直線l的傾斜角為α．
若k＞
3
3
，則30°＜α＜90°，
∴△B1PQ的周長
L=|B1Q|+|FQ|+|FP|+|B1P|
=2a+r+2rsin（45°-
α
2
）=6+4sin（45°-
α
2
），
∵0°＜45°-
α
2
＜30°，∴0＜sin（45°-
α
2
）＜
1
2
，
∴L=6+4sin（45°-
α
2
）＜8，（8分）
若k＜-
3
3
時，則90°＜α＜150°，
∴△B1PQ的周長
L=|B1Q|+|FQ|+|FP|+|B1P|
=2a+r+2rsin（
α
2
-45°）=6+4sin（
α
2
-45°），
∵0°＜
α
2
-45°＜30°，∴0＜sin（
α
2
-45°）＜
1
2
，
∴L=6+4sin（
α
2
-45°）＜8，．
∴當且僅當P，Q均在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，x≥0上時，△B1PQ的周長L取最大，
且最大值為8．（9分）
（ii）解：由（i）知：當且僅當P，Q均在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，x≥0上時，
△B1PQ的周長L取最大，且最大值為8．此時-
3
3
≤k≤
3
3
．
設PQ的方程為y=kx+1（-
3
3
≤k≤
3
3
），P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
y=kx+1
y2
4
+
x2
3
=1
，得（4+3k2）x2+6kx-9=0，
△＞0，x1+x2=-
6k
4+3k2
，x1x2=
-9
4+3k2
，（11分）
∴|PQ|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(1+k2)(x1-x2)2

=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=
(1+k2)[
36k2
(4+3k2)2
+
36
4+3k2
]

=
36•4(k2+1)2
(4+3k2)2
=
12(k2+1)
4+3k2
=4（1-
1
4+3k2
），
∵k2∈[0，
1
3
]，∴|PQ|∈[3，
16
5
]，∴弦PQ長度的取值范圍是[3，
16
5
]．（14分）
點評：本題考查橢圓中參數(shù)的求法，考查三角形周長的最大值滿足的條件的證明，考查弦長的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．
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已知二階矩陣M=
2  1
0  1
，求矩陣M特征值及特征向量．

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（Ⅰ）若函數(shù)f（x）+g（x）在[2，3]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）當x∈（0，e]時，證明：e2x＞
5
2
+（1+
1
x
）lnx．

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已知圓O：x2+y2=4．
（1）直線l1：
3
x+y-2
3
=0與圓O相交于A、B兩點，求|AB|；
（2）如圖，設M（x1，y1）、P（x2，y2）是圓O上的兩個動點，點M關于原點的對稱點為M1，點M關于x軸的對稱點為M2，如果直線PM1、PM2與y軸分別交于（0，m）和（0，n），問m•n是否為定值？若是求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）過O點任作一直線與直線x=4交于E點，過（2，0）點作直線與OE垂直，并且交直線x=4于F點，以EF為直徑的圓是否過定點，如過定點求出其坐標，如不過，請說明理由．

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已知
a
=（2cos
x
2
，1），
b
=（sin
x
2
，0），f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象平移
2π
3
個單位（可向上、下、左、右平移，且僅可選擇一種方向平移一次）得到g（x），求h（x）=f（x）g（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，離心率為
2
2
的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與直線l：x=-2相切于點A（-2，0）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若OA是圓C的直徑，P（x0，y0）（x0＞0）為橢圓上的動點，過P作圓C的兩條切線，分別交直線l于點M、N，求當
PM
•
PN
取得最小值時P點的橫坐標x0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線y=kx與圓N：x2+y2-2x-2y+1=0交于P、Q，且M（0，b），
MP
•
MQ
=0，問是否存在k使得M，N，P，Q4點共圓？若存在，求出k值；若不存在，說明理由．

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在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB與AA1的中點，則直線EF與平面ACC1A1成角的大小為
 
．

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