Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+（a-1）x，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，函數(shù)y=f（x）有極值？并求出極大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，k=f′（0）=0，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程y=0；
（2）顯然，當(dāng)a-1≠1時(shí)，即 a≠2時(shí)函數(shù)有極值，通過(guò)討論①當(dāng)a＜2時(shí)，即a-1＜1時(shí)②當(dāng)a＞2時(shí)，即a-1＞1時(shí)的函數(shù)的單調(diào)性，從而找到函數(shù)的極大值．

解答： 解：f′（x）=x²-ax+a-1=（x-1）[x-（a-1）]
（1）當(dāng)a=1時(shí)，k=f′（0）=0，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程y=0；
（2）顯然，當(dāng)a-1≠1時(shí)，即 a≠2時(shí)函數(shù)有極值．
①當(dāng)a＜2時(shí)，即a-1＜1時(shí)，有

x	（-∞，a-1）	a-1	（a-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

此時(shí)，函數(shù)函數(shù)y=f（x）極大值為f（a-1）=

4-a

6

（a-1）²．
②當(dāng)a＞2時(shí)，即a-1＞1時(shí)，有

x	（-∞，1）	1	（1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

此時(shí)，函數(shù)y=f（x）極大值為f（1）=

a

2

-

2

3

．
綜上，函數(shù)y=f（x）極大值為f（x）_極大值=

4-a 6 (a-1)2，  (a＜2) a 2 - 2 3 ，           (a＞2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類(lèi)討論思想，是一道基礎(chǔ)題．