Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+4lnx的極值點為1和2．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由導(dǎo)數(shù)的運算法則可得：f′（x）=2ax+b+

4

x

=

2ax2+bx+4

x

，x∈（0，+∞），
（1）由y=f（x）的極值點為1和2，可知2ax²+bx+4=0的兩根為1和2，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）由（1）得f（x）=x²-6x+4ln x，可得f′（x）=2x-6+

4

x

=

2x2-6x+4

x

=

2(x-1)(x-2)

x

，x∈（0，3]．當(dāng)x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況列出表格即可得出．

解答： 解：f′（x）=2ax+b+

4

x

=

2ax2+bx+4

x

，x∈（0，+∞），
（1）∵y=f（x）的極值點為1和2，
∴2ax²+bx+4=0的兩根為1和2，
∴

1+2=- b 2a 1×2= 4 2a

，解得a=1，b=-6．
（2）由（1）得f（x）=x²-6x+4ln x，
∴f′（x）=2x-6+

4

x

=

2x2-6x+4

x

=

2(x-1)(x-2)

x

，x∈（0，3]．
當(dāng)x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	-5	單調(diào)遞減	4ln 2-8	單調(diào)遞增	4ln 3-9

∵f（3）=4ln 3-9＞f（1）=-5＞f（2）=4ln2-8，
∴f（x）max=f（3）=4ln3-9．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．