Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），F(xiàn)為左焦點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線FA的距離為 b．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)b=2，直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，求證：直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)F的坐標(biāo)為（﹣c，0），依題意有bc= ab，

∴橢圓C的離心率e= = ．

（2）解：若b=2，由（1）得a=2 ，∴橢圓方程為 ．

聯(lián)立方程組

化簡得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，

由△=32（2k2﹣3）＞0，解得：k2＞

由韋達(dá)定理得：xM+xN= …①，xMxN= …②

設(shè)M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），

MB方程為：y= x﹣2，…③

NA方程為：y= x+2，…④

由③④解得：y=

= = =1

即yG=1，

∴直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上

【解析】（1）設(shè)F的坐標(biāo)為（﹣c，0），原點(diǎn)O到直線FA的距離為 b，列出方程，即可求解橢圓的離心率．（2）求出橢圓方程，聯(lián)立方程組 ，通過韋達(dá)定理，設(shè)M（xM ， kxM+4），N（xN ， kxN+4），
求出MB方程，NA方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，推出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．