Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+3x|x-c|，其中c∈R．
（1）當$c=\frac{1}{3}$時，是否存在區(qū)間[a，b]，使得函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[a，b]？若存在，求出所有可能的區(qū)間[a，b]，若不存在請說明理由．
（2）若c＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上既有最大值又有最小值，請分別求出a，b的取值范圍（用c表示）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函數(shù)，對a，b討論，當a＜b$≤\frac{1}{4}$時，當a$≤\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{3}$≤b時，當$\frac{1}{4}$$≤a≤b≤\frac{1}{3}$時，當$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{3}$＜b時，當$\frac{1}{3}$≤a＜b時，運用單調(diào)性，得到方程，解得可得所求區(qū)間；
（2）畫出函數(shù)的圖象，要使得函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)既有最大值又有最小值，則最小值一定在x=c處取得，最大值在$x=\frac{3}{4}c$處取得，分別求得函數(shù)值為c²時，x=$\frac{1}{2}$c，函數(shù)值為$\frac{9}{8}$c²時，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c，即可得到a，b的范圍．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-3cx，x≥c}\\{-2{x}^{2}+3cx，x＜c}\end{array}\right.$．
（1）當c=$\frac{1}{3}$時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-x，x≥\frac{1}{3}}\\{-2{x}^{2}+x，x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
當a＜b$≤\frac{1}{4}$時，f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$即為$\left\{\begin{array}{l}{-2{a}^{2}+a=a}\\{-2^{2}+b=b}\end{array}\right.$，
所以a=b矛盾；當a$≤\frac{1}{4}$$≤b＜\frac{1}{3}$時，b=f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{8}$，矛盾；
當a$≤\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{3}$≤b時，b$≥\frac{1}{3}＞\frac{1}{8}$＞f（a），
故f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，b]上取得．
f（x）在[$\frac{1}{3}$，b]上單調(diào)遞增，則b=f（b），
即4b²-b=b，解得b=$\frac{1}{2}$．
又a$≤\frac{1}{4}$，且a$≤\frac{1}{9}$，所以f（x）在區(qū)間[a，b]上最小值在區(qū)間[a，$\frac{1}{4}$]上取得，
又f（x）在區(qū)間[a，$\frac{1}{4}$]上單調(diào)遞增，故a=f（a），即-2a²+a=a，解得a=0，
故[a，b]=[0，$\frac{1}{2}$]．
當$\frac{1}{4}$$≤a≤b≤\frac{1}{3}$時，由x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]，得$\frac{1}{9}$$≤f（x）≤\frac{1}{8}$，則$\frac{1}{9}$≤a＜b≤$\frac{1}{8}$矛盾．
當$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{3}$＜b時，f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{1}{3}$，b]上單調(diào)遞增．
故a=f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{9}$，矛盾．
當$\frac{1}{3}$≤a＜b時，f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，故$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，得a=b=$\frac{1}{2}$，矛盾．
綜上所述$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即存在區(qū)間[0，$\frac{1}{2}$]滿足條件．
（2）當c＞0時，函數(shù)的圖象如圖，
要使得函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)既有最大值又有最小值，
則最小值一定在x=c處取得，
最大值在$x=\frac{3}{4}c$處取得，f（c）=c²，
在區(qū)間（-∞，c）內(nèi)，函數(shù)值為c²時，x=$\frac{1}{2}$c，
所以$\frac{1}{2}$c≤a＜$\frac{3}{4}$c；
f（$\frac{3}{4}$c）=$\frac{9}{8}$c²，而在區(qū)間（a，+∞）內(nèi)函數(shù)值為$\frac{9}{8}$c²時，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c，
所以c＜b≤$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c．

點評 本題考查分段函數(shù)的值域和最值的求法，注意運用分類討論的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于難題．