Question

過點(diǎn)P（-10，0）引直線l與曲線y=-

50-x2

相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：由題意可知曲線為單位圓在x軸上方部分（含與x軸的交點(diǎn)），由此可得到過C點(diǎn)的直線與曲線相交時(shí)k的范圍，設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，由勾股定理求出直線被圓所截半弦長(zhǎng)，寫出面積后利用配方法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值．

解答： 解：曲線y=-

50-x2

即 x²+y²=50 （y≤0），表示以原點(diǎn)為圓心，半徑等于5

2

的下半圓．
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-0=k（x+10），即y=kx+10k．
由于弦心距d=

|0-0+10k|

k2+1

=

|10k|

k2+1

，∴弦長(zhǎng)AB=2

r2-d2

=2

50-50k2 k2+1

，
∴S_△OAB=

1

2

•d•AB=

|10k|

k2+1

•

50-50k2 k2+1

=

50 k2(2-2k2)

k2+1

=50

k2(2-2k2) k4+2k2+1

=

-2(k2+1)2+6(k2+1)-4 (k2+1)2

=

-2+ 6 k2+1 - 4 (k2+1)2

．
令

1

k2+1

=t∈（0，1]，則S_△OAB=

-4t2+6t-2

，故當(dāng)t=

3

4

時(shí)，S_△OAB取得最大值為

1

2

，
此時(shí)，由t=

3

4

，k=

3

3

（不合題意，舍去），或k=-

3

3

，
故答案為：-

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓的關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，考查了配方法及二次函數(shù)求最值，解答此題的關(guān)鍵在于把面積表達(dá)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，是中檔題．