Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足條件f（-x+5）=f（x-3），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根
（1）求a，b，c；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使得函數(shù)f（x）在定義域?yàn)閇m，n]值域?yàn)閇3m，3n]．如果存在，求出m，n的值；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意得

- b 2a =1 4a+2b+c=0 (b-1)2-4ac=0

，由此求得a，b，c的值．
（2）由以上可得，f（x）=-

1

2

x²+x的對(duì)稱軸為x=1，函數(shù)的最大值為

1

2

，故3n≤

1

2

，可得n≤

1

6

．由f（m）=3m、f（n）=3n，求得m、n的值．

解答： 解：（1）由題意得

- b 2a =1 4a+2b+c=0 (b-1)2-4ac=0

，解得

a=- 1 2 b=1 c=0

．
（2）由以上可得，f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，它的對(duì)稱軸為x=1，函數(shù)的最大值為

1

2

．
由于函數(shù)f（x）在定義域?yàn)閇m，n]值域?yàn)閇3m，3n]，∴3n≤

1

2

，∴n≤

1

6

．
∴函數(shù)f（x）在定義域?yàn)閇m，n]上是增函數(shù)，∴f（m）=3m，f（n）=3n，即

- 1 2 •m2+m=3m - 1 2 •n2+n=3n m＜n

，
求得 m=-4，n=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．