Question

已知拋物線P：x²=4y（p＞0）的焦點為F，過點F作直線l與P交于A，B兩點，P的準線與y軸交于點C．
（Ⅰ）證明：直線CA與CB關(guān)于y軸對稱；
（Ⅱ）當(dāng)直線CB的傾斜角為45°時，求△ABC內(nèi)切圓的方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l的方程為y=kx+1，代入拋物線方程x²=4y，得x²-4ky-4=0，由此能證明直線CA與CB關(guān)于y軸對稱；
（Ⅱ）由題意知F（0，1），C（0，-1），當(dāng)直線CB的傾斜角為45°時，其方程為y=x-1，代入拋物線方程，得（x-2）²=0，由此能求出直線AB的方程，設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心為（0，b）（0＜b＜1），半徑為r，則r=1-b=

1+b

2

，求出b，r，即可求出△ABC內(nèi)切圓的方程．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l的方程為y=kx+1，
代入拋物線方程x²=4y，得x²-4ky-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
設(shè)直線CA，CB的斜率為k_CA，k_CB，
∴k_CA+k_CB=

kx1+2

x1

+

kx2+2

x2

=2k+

2(x1+x2)

x1x2

=0，
∴直線CA與CB關(guān)于y軸對稱；
（Ⅱ）解：∵拋物線p：x²=4y（p＞0）的焦點為F，p的準線與y軸交于點C．
∴F（0，1），C（0，-1），
當(dāng)直線CB的傾斜角為45°時，其方程為y=x-1，
代入拋物線方程，得（x-2）²=0，
于是點B（2，1），
又直線AB經(jīng)過點F，其方程為y=1．
設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心為（0，b）（0＜b＜1），半徑為r，則r=1-b=

1+b

2

，
∴b=3-2

2

，r=2（

2

-1），
∴△ABC內(nèi)切圓的方程為x²+（y-3+2

2

）²=4（

2

-1）²．

點評：本題考查直線方程的求法，考查兩直線關(guān)于y軸對稱的證明，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．