設(shè)向量
a
=(x,2),
b
=(x+n,2x-
3
2
),n∈N+,函數(shù)f(x)=
a
b
在[0,1]上的最小值與最大值的和為an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn+4bn=n(n∈N+
(Ⅰ)求an
(Ⅱ)證明數(shù)列{bn-1}為等比數(shù)列,并求出bn的表達(dá)式;
(Ⅲ)令cn=-an•(bn-1),試問:在數(shù)列{cn}中,是否存在正整數(shù)k,使得對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有cn≤ck成立?證明你的結(jié)論.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)由已知條件得f(x)=
a
b
=x(x+n)+2(2x-
3
2
)=x2+(4+n)x-3,由對(duì)稱軸為x=-
n+4
2
,能求出an
(Ⅱ)由Sn+4bn=n(n∈N+),推導(dǎo)出bn=
4
5
bn-1+
1
5
,從而得到bn-1=
4
5
(bn-1-1)
,由此能證明數(shù)列{bn-1}是以b1-1=-
4
5
為首項(xiàng),以
4
5
為公比的等比數(shù)列,進(jìn)而求出bn=1-(
4
5
)n

(Ⅲ)由cn=-an•(bn-1)=(n-1)•(
4
5
)n
,推導(dǎo)出c1<c2<c3<c4c8>…>cn,所以存在正整數(shù)k=5或k=6,使得對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有cn≤ck成立.
解答: (滿分14分)
(Ⅰ)解:∵向量
a
=(x,2),
b
=(x+n,2x-
3
2
),n∈N+
∴f(x)=
a
b
=x(x+n)+2(2x-
3
2
)=x2+(4+n)x-3,
對(duì)稱軸為x=-
n+4
2

∴函數(shù)f(x)在[0,1]上為增函數(shù),
∴an=(-3)+1+(4+n)-3=n-1.
(Ⅱ)證明:∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn+4bn=n(n∈N+),
令n=1,得b1=
1
5

當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1+4bn-1=n-1,
∴bn=Sn-Sn-1=1-4bn-1,
bn=
4
5
bn-1+
1
5
,
bn-1=
4
5
(bn-1-1)

∴數(shù)列{bn-1}是以b1-1=-
4
5
為首項(xiàng),以
4
5
為公比的等比數(shù)列,
bn-1=-
4
5
×(
4
5
)n-1=-(
4
5
)n
,
bn=1-(
4
5
)n

(Ⅲ)解:存在正整數(shù)k,使得對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有cn≤ck成立.
證明如下:
cn=-an•(bn-1)=(n-1)•(
4
5
)n
,
cn+1-cn=n•(
4
5
)n+1-(n-1)•(
4
5
)n
=
5-n
5
•(
4
5
)n

∴當(dāng)n<5時(shí),cn+1>cn;當(dāng)n=5時(shí),c6=c5;當(dāng)n>5時(shí),cn+1<cn
∴c1<c2<c3<c4c8>…>cn,
∴存在正整數(shù)k=5或k=6,使得對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有cn≤ck成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查等比數(shù)列的證明,考查滿足條件的正整數(shù)的判斷與求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用.
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1
2
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