Question

已知數(shù)列{a_n}是一個(gè)公差不為0等差數(shù)列，且a₂=2，并且a₃，a₆，a₁₂成等比數(shù)列，則

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先求出公差，可得數(shù)列的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)法求和即可．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}是一個(gè)公差不為0等差數(shù)列，且a₂=2，并且a₃，a₆，a₁₂成等比數(shù)列，
∴a₆²=a₃•a₁₂，
∴（2+4d）²=（2+d）（2+10d），
∵d≠0，∴d=1．
∴a_n=2+（n-2）=n，
∴

1

anan+1

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故答案為：

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，裂項(xiàng)法，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．