已知雙曲線E：
x2
a2
-
y2
4
=1（a＞0）的中心為原點(diǎn)O，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
3
5
5
，點(diǎn)P是直線x=
a2
3
上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線E上，且滿足
PF2
•
QF2
=0．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)P作動直線l與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)M，N，在線段MN上取異于點(diǎn)M，N的點(diǎn)H，滿足
|PM|
|PN|
=
|MH|
|HN|
，證明點(diǎn)H恒在一條定直線上．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,直線的斜率
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）設(shè)雙曲線E的半焦距為c，根據(jù)離心率為
3
5
5
，雙曲線方程，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P(
5
3
 ，t)，Q（x0，y0），根據(jù)
PF2
•
QF2
=0，點(diǎn)Q（x0，y0）在雙曲線E上，可得y02=
4
5
(
x
2
0
-5)，表示出直線PQ與直線OQ的斜率之積，化簡可得結(jié)論；
（3）設(shè)點(diǎn)H（x，y），且過點(diǎn)P(
5
3
 ，1)的直線l與雙曲線E的右支交于不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則4x12-5y12=20，4x22-5y22=20，即y12=
4
5
(x12-5)，y22=
4
5
(x22-5)，設(shè)
|PM|
|PN|
=
|MH|
|HN|
=λ，求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，化簡可得點(diǎn)H恒在定直線4x-3y-12=0上．
解答： （1）解：設(shè)雙曲線E的半焦距為c，
由題意可得
c
a
=
3
5
5
c2=a2+4.
，解得a=
5
．
（2）證明：由（1）可知，直線x=
a2
3
=
5
3
，點(diǎn)F2（3，0）．
設(shè)點(diǎn)P(
5
3
 ，t)，Q（x0，y0），
因?yàn)?span id="vdb1zz1" class="MathJye">
PF2
•
QF2
=0，所以(3-
5
3
，-t)•(3-x0，-y0)=0，
所以ty0=
4
3
(x0-3)．
因?yàn)辄c(diǎn)Q（x0，y0）在雙曲線E上，所以
x02
5
-
y02
4
=1，即y02=
4
5
(
x
2
0
-5)．
所以kPQ•kOQ=
y0-t
x0-
5
3
•
y0
x0
=
y
2
0
-ty0
x
2
0
-
5
3
x0
=
4
5
(
x
2
0
-5)-
4
3
(x0-3)
x02-
5
3
x0
=
4
5
．
所以直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值
4
5
．
（3）證明：設(shè)點(diǎn)H（x，y），且過點(diǎn)P(
5
3
 ，1)的直線l與雙曲線E的右支交于不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則4x12-5y12=20，4x22-5y22=20，即y12=
4
5
(x12-5)，y22=
4
5
(x22-5)．
設(shè)
|PM|
|PN|
=
|MH|
|HN|
=λ，則
PM
=λ
PN
 
MH
=λ
HN
.
．
即
(x1-
5
3
 ，y1-1)=λ(x2-
5
3
 ，y2-1) 
(x-x1 ，y-y1)=λ(x2-x ，y2-y).

整理，得
x1-λx2=
5
3
 (1-λ)，①
y1-λy2=1-λ，②
x1+λx2=x(1+λ) ，③ 
y1+λy2=y(1+λ)．，④

由①×③，②×④得
x12-λ2x22=
5
3
(1-λ2)x ，⑤
y12-λ2y22=(1-λ2)y．，⑥

將y12=
4
5
(x12-5)，y22=
4
5
(x22-5)代入⑥，
得y=
4
5
×
x12-λ2x22
1-λ2
-4．                         ⑦
將⑤代入⑦，得y=
4
3
x-4．
所以點(diǎn)H恒在定直線4x-3y-12=0上．
點(diǎn)評：本小題主要考查直線的斜率、雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

P是圓O：x2+y2=4上的動點(diǎn)，過P作x軸的垂線，垂足為Q，若PQ中點(diǎn)M的軌跡記為Γ．
（1）求Γ的方程；
（2）若直線l：y=kx+3與曲線Γ相切，求直線l被圓O截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點(diǎn)A（1，2）是拋物線C：y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B（5，-2）的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：
PA
•
QA
為定值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P，Q與點(diǎn)A不重合，問△APQ的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
2
2
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），若過F1的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，求
F2A
•
F2B
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)公差為d（d≠0）的等差數(shù)列{an}與公比為q（q＞0）的等比數(shù)列{bn}有如下關(guān)系：a1=b1，a3=b3，a7=b5．
（Ⅰ）比較a15與b7的大小關(guān)系，并給出證明．
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m，n，使得an=bm？若存在，求出m，n之間所滿足的關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓G與拋物線y2=-4x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（-
6
2
，1）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓G在第一象限上的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，過P點(diǎn)作斜率為k的直線l，使得l與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，試證明
1
kk1
+
1
kk2
為定值，并求出這個(gè)定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問的條件下，作F2Q⊥F2P，設(shè)F2Q交l于點(diǎn)Q，證明：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上移動時(shí)，點(diǎn)Q在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M（0，
3
），N（0，-
3
），平面上一動點(diǎn)P滿足|PM|+|PN|=4，記點(diǎn)P的軌跡為P．
（1）求軌跡P的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)E（0，1）且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l1：y=kx+b1與軌跡P相交于A，B兩點(diǎn)，若y軸上存在一點(diǎn)Q，使得直線QA，QB關(guān)于y軸對稱，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）是否存在不過點(diǎn)E（0，1），且不垂直坐標(biāo)軸的直線l，它與軌跡P及圓E：x2+（y-1）2=9從左到右依次交于C，D，F(xiàn)，G四點(diǎn)，且滿足
.
ED
-
.
EC
=
.
EG
-
.
EF
？若存在，求出當(dāng)△OCG的面積S取得最小值時(shí)k2的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，A，C分別是雙曲線虛軸的上下頂點(diǎn)，B是雙曲線的左頂點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線AB與FC相交于點(diǎn)D．若雙曲線的離心率為2，則∠BDF的余弦值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，那么拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系為（　�。�
A、相離B、相切
C、相交但不經(jīng)過圓心D、相交且經(jīng)過圓心

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同步練習(xí)冊答案