Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M（0，

3

），N（0，-

3

），平面上一動點(diǎn)P滿足|PM|+|PN|=4，記點(diǎn)P的軌跡為P．
（1）求軌跡P的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)E（0，1）且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l₁：y=kx+b₁與軌跡P相交于A，B兩點(diǎn)，若y軸上存在一點(diǎn)Q，使得直線QA，QB關(guān)于y軸對稱，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）是否存在不過點(diǎn)E（0，1），且不垂直坐標(biāo)軸的直線l，它與軌跡P及圓E：x²+（y-1）²=9從左到右依次交于C，D，F(xiàn)，G四點(diǎn)，且滿足

.

ED

-

.

EC

=

.

EG

-

.

EF

？若存在，求出當(dāng)△OCG的面積S取得最小值時(shí)k²的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長軸長為4，焦距為2

3

的橢圓，由此能求出軌跡P的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)Q（0，t），直線l₁：y=kx+1，由

y2 4 +x2=1 y=k1x+1

，得（k 12+4）x²+2k₁x-3=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程、斜率公式能求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為y=kx+b，且k≠0，設(shè)線段DF的中點(diǎn)為H，由

y=kx+b y2+4x2=4

，得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0，利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量、構(gòu)造法垂徑定理等知識占能求出△OCG的面積S取得最小值時(shí)k²的值．

解答： 解：（1）∵|PM|+|PN|=4＞2

3

，
∴點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，
長軸長為4，焦距為2

3

的橢圓，
即a=2，c=

3

，∴b²=a²-c²=1，
∴軌跡P的方程為

y2

4

+x2=1．
（2）設(shè)點(diǎn)Q（0，t），
∵過點(diǎn)E（0，1）且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l₁：y=kx+b₁與軌跡P相交于A，B兩點(diǎn)，
∴b₁=1，∴直線l₁：y=k₁x+1，
由

y2 4 +x2=1 y=k1x+1

，消去y，得（k 12+4）x²+2k₁x-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（

x

2

，y₂），
則

△=4k12+12(k12+4)＞0 x1+x2= -2k1 k12+4 x1x2= -3 k12+4

，
∴A（x₁，k₁x₁+1），B（x₂，k₁x₂+1），
∴kAQ=

k1x1+1-t

x1

，kBQ=

k1x2+1-t

x2

，
∵直線QA，QB關(guān)于y軸對稱，∴kAQ+kBQ=

k1x1+1-t

x1

+

k1x2+1-t

x2

=0，
∴2k₁x₁x₂+（1-t）（x₁+x₂）=0，
∴2k₁（-3）+（1-t）（-2k₁）=2k₁t-8k₁=2（t-4）k₁=0，
解得t=4，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)（0，4）．
（3）假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為y=kx+b，且k≠0，
設(shè)線段DF的中點(diǎn)為H，
∵

ED

-

EC

=

EG

-

EF

，
∴

ED

+

EF

=

EC

+

EG

=2

EH

，
由

y=kx+b y2+4x2=4

，消去y，得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0，
設(shè)D（x₃，y₃），F(xiàn)（x₄，y₄），
則

△=16(k2-b2+4)＞0 x3+x4= -2kb k2+4 x3x4= b2-4 k2+4

，
∴H（

-kb

k2+4

，

4b

k2+4

），
由kEH=

4b k2+4 -1

-kb k2+4 -0

=-

1

k

，解得k²+4=3b，∴H（

-k

3

，

4

3

），
代入判別式，得0＜k²＜5，
∴存在這樣的直線l符合題意，
|EH|=

( -k 3 -0)2+( 4 3 -1)2

=

1 9 + k2 9

，
由垂徑定理，得|CG|=2

9-|EH|2

=

2

3

80-k2

，
坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離d=

|b|

k2+1

=

k2+4

3 k2+1

，
∴S=

1

2

|CG|•d=

1

2

×

2

3

80-k2

×

k2+4

3 k2+1

=

1

9

(k2+4)

80-k2

k2+1

，
∴S2=

1

81

(k2+4)2•

80-k2

k2+1

，
令k²+1=r，r∈（1，6），
構(gòu)造函數(shù)F(r)=

1

81

(r+3)2

(81-r)

r

，r∈（1，6），
F′(r)=

1

81

(r+3)

(-2r2+81r-243)

r2

，r∈（1，6），
令G（r）=-2r²+81r-243，r∈（1，6），
G（r）=-2r+81r-243=0，
∴r1=

81-9 57

4

，或r2=

81+9 57

4

（舍）
又∵7＜

57

＜8，∴

9

4

＜r1=

81-9 57

4

＜

9

2

，
又當(dāng)r∈（r₁，6）時(shí)，G（r）＞0，
∴F′（r）＞0，∴F（r）在（r1 ，6）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)k2+1=

81-9 57

4

，即k2=

77-9 57

4

時(shí)，
△OCG的面積S取得最小值．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查三角形面積取最小值時(shí)參數(shù)值的求法，綜合性質(zhì)強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，避免出現(xiàn)運(yùn)算上的錯(cuò)誤．