若點(diǎn)A（1，2）是拋物線C：y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B（5，-2）的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：
PA
•
QA
為定值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P，Q與點(diǎn)A不重合，問△APQ的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（I）由已知條件求出拋物線C：y2=4x，若直線l的斜率不存在，直線l：x=5，
PA
•
QA
=0；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y=k（x-5）-2，（k≠0），利用根的判別式和韋達(dá)定理能推導(dǎo)出
PA
•
QA
為定值0．
（II） 若直線l的斜率不存在，直線l：x=5，S△APQ=
1
2
×4
5
×4=8
5
；若直線l的斜率存在時(shí)，令u=(
1
k
+1)2，有u≥0，推導(dǎo)出S△APQ=8
u2+4u
沒有最大值．
解答： 解：（I）∵點(diǎn)A（1，2）在拋物線C：y2=2px（p＞0）上，
∴4=2p，解得p=2，∴拋物線C：y2=4x，（2分）
若直線l的斜率不存在，直線l：x=5，
此時(shí)P(5，2
5
)，Q(5，-2
5
)，A(1，2)，
∴
PA
•
QA
=(-4，2-2
5
)•(-4，2+2
5
)=0，（3分）
若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y=k（x-5）-2，（k≠0），
點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）
聯(lián)立
y2=4x
y=k(x-5)-2
，
消去x，得ky2-4y-4（5k+2）=0，
∴y1+y2=
4
k
，y1y2=-
20k+8
k
=-20-
8
k
，
△=16+16k（5k+2）＞0，（5分）
∴
PA
•
QA
=（1-x1，3=2-y1）•（1-x2，2-y2）
=1-（x1+x2）+x1x2+4-2（y1+y2）+y1y2
=1-
y12+y22
4
+
y12y22
16
+4-2（y1+y2）+y1y2
=1-
(y1+y2)2-2y1y2
4
+
y12y22
16
+4-2（y1+y2）+y1y2
=1-
16
k2
+40+
16
k
4
+
(-20-
8
k
)2
16
+4-
8
k
-20-
8
k
=0，
∴
PA
•
QA
為定值0．（7分）
（II） 若直線l的斜率不存在，直線l：x=5，
此時(shí)P(5，2
5
)，Q(5，-2
5
)，A(1，2)，
S△APQ=
1
2
×4
5
×4=8
5

若直線l的斜率存在時(shí)，
|PQ|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2

=
1+
1
k2
•
(y1+y2)2-4y1y2
=
1+
1
k2
•
80k2+32k+16
k2
，（9分）
點(diǎn)A（1，2）到直線l：y=k（x-5）-2的距離h=
4|k+1|
1+k2
，（10分）
S△APQ=
1
2
•|PQ|•h=8
(5k2+2k+1)(k+1)2
k4
，
令u=(
1
k
+1)2，有u≥0，
則S△APQ=8
u2+4u
沒有最大值．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積為定理，考查三角形的面積是否有最大值的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

學(xué)校為了了解學(xué)生每天課外閱讀的時(shí)問（單位：分鐘），抽取了n個(gè)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些學(xué)生的課外閱讀時(shí)間都在[10，50），其頻率分布直方圖如圖所示，其中時(shí)間在[30，50）的學(xué)生有67人，則n的值是（　�。�
A、100B、120
C、130D、390

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），且F2到直線x-
3
y-9=0的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P的圓心為P（0，t）（t＞0），且經(jīng)過F1、F2，Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)且在圓P外，過Q作圓P的切線，切點(diǎn)為M，當(dāng)|QM|的最大值為
3
2
2
時(shí)，求t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0）、F2（c，0）是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓E上．
（Ⅰ）若∠F1MF2的最大值是
π
2
，求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線x=my+c與橢圓E交于P、Q兩點(diǎn)，過P、Q兩點(diǎn)分別作橢圓E的切線l1，l2，且l1與l2交于點(diǎn)R，試問：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)R是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)D，且
BF
=
5
3
FD
．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，若x軸上存在一定點(diǎn)M（1，0），使得PM⊥QM，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，點(diǎn)M、N分別是B1C1和A1B1的中點(diǎn)，AA1=AB=BM=2，∠A1AB=60°．
（Ⅰ）求證：BN⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求二面角A1-AB-M的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xe-2x（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=h（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
1
2
對(duì)稱．求證：當(dāng)x＞
1
2
時(shí)，f（x）＞h（x）．
（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2＞1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線E：
x2
a2
-
y2
4
=1（a＞0）的中心為原點(diǎn)O，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
3
5
5
，點(diǎn)P是直線x=
a2
3
上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線E上，且滿足
PF2
•
QF2
=0．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)P作動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)M，N，在線段MN上取異于點(diǎn)M，N的點(diǎn)H，滿足
|PM|
|PN|
=
|MH|
|HN|
，證明點(diǎn)H恒在一條定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列五個(gè)命題：
①若
AB
=
DC
，則A、B、C、D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；
②已知非零向量
AB
與
AC
滿足（
AB
|
AB
|
+
AC
|AC|
）•
BC
=0，且
AB
|
AB
|
•
AC
|AC|
=
1
2
，則△ABC為等邊三角形；
③已知向量
a
=(-2，1)，
b
=(-3，0)，則
a
在
b
方向上的投影為2；
④y=sin|x|的周期為π；
⑤若向量
m
∥
n
，
n
∥
k
，則向量
m
∥
k
．
其中不正確的命題是
 
．

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