Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）設(shè)b_n=

1

(an+1)(an+3)

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
（Ⅱ）對于給定的數(shù)列{c_n}，如果存在實數(shù)p，q使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N^*恒成立，我們稱數(shù)列{c_n}是“M類數(shù)列”．
（�。┡袛鄶�(shù)列{a_n}是否為“M類數(shù)列”？若是，求出實數(shù)p，q的值；若不是，請說明理由；
（ⅱ）數(shù)列{d_n}是“M類數(shù)列”，且滿足d₁=2，d_n+d _n+1=3•2ⁿ（n∈N^*）求數(shù)列{d_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由bn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
（2）（�。┯蒩_n=2n，a_n+1=a_n+2，得到數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，對應(yīng)的實常數(shù)p、q的值分別為1、2．
（ⅱ）由已知得存在實常數(shù)p、q使得d_n+1=pd_n+q對于任意n∈N^*都成立，從而3•2ⁿ⁺¹=p•3•2ⁿ對于任意n∈N^*都成立，由此推導(dǎo)出{d_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出d_n=2ⁿ，n∈N^*．

解答： 解：（1）∵bn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
T_n=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

6n+9

．
（2）（ⅰ）∵a_n=2n，∴a_n+1=a_n+2，
故數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，對應(yīng)的實常數(shù)p、q的值分別為1、2．
（ⅱ）∵數(shù)列{d_n}是“M類數(shù)列”，
∴存在實常數(shù)p、q使得d_n+1=pd_n+q對于任意n∈N^*都成立，
∴d_n+2=pd_n+1+q，故d_n+1+d_n+2=p（d_n+d_n+1）+2q，
又d_n+d_n+1=3•2ⁿ，n∈N^*，∴3•2ⁿ⁺¹=p•3•2ⁿ對于任意n∈N^*都成立，
即3•2ⁿ（p-2）-2q=0對于任意n∈N^*都成立，因此p=2，q=0
此時d_n+1=2d_n，即

dn+1

dn

=2，（n∈N^*）
∴{d_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴d_n=2ⁿ，n∈N^*．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，考查“M類數(shù)列”的判斷與應(yīng)用，考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．