【題目】如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是菱形,,且,交于點(diǎn),上任意一點(diǎn).

(1)求證:

(2)若的中點(diǎn),且二面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析; (2).

【解析】

(1)先求證AC⊥平面PBD,再證AC⊥DE.(2)先證明 EO⊥平面ABCD,分別以O(shè)A,OB,OE所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求出EC與平面PAB所成角的正弦值.

(1)因?yàn)镈P⊥平面ABCD,所以DP⊥AC,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以BD⊥AC,

又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD,

因?yàn)镈E平面PBD,∴AC⊥DE.

(2)連接OE,在△PBD中,EO∥PD,

所以EO⊥平面ABCD,分別以O(shè)A,OB,OE所在直線為x軸,y軸,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PD=t,則A(1,0,0),B(0,,0),C(﹣1,0,0),

E(0,0,),P(0,﹣,t).

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為(x,y,z),

,令,得,

平面PBD的法向量(1,0,0),

因?yàn)槎娼茿﹣PB﹣D的余弦值為,

所以

所以(舍),

∴EC與平面PAB所成角的正弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知△ABC中,AC= ,BC= ,△ABC的面積為 ,若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)D,使∠BDC= ,則CD=

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面四邊形ABCD中,已知∠A= ,∠B= ,AB=6,在AB邊上取點(diǎn)E,使得BE=1,連接EC,ED.若∠CED= ,EC=

(Ⅰ)求sin∠BCE的值;
(Ⅱ)求CD的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知兩圓x2+y2﹣2x+10y﹣24=0和 x2+y2+2x+2y﹣8=0

(1)判斷兩圓的位置關(guān)系;(2)求公共弦所在的直線方程及公共弦的長(zhǎng)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+ ),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)y=2f(x)+f′(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是(
A.[ , ]
B.[﹣ ]
C.[﹣ , ]
D.[﹣ ]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】非零向量 , 的夾角為 ,且滿足| |=λ| |(λ>0),向量組 , 由一個(gè) 和兩個(gè) 排列而成,向量組 , 由兩個(gè) 和一個(gè) 排列而成,若 + + 所有可能值中的最小值為4 2 , 則λ=

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某海警基地碼頭O的正東方向40海里處有海礁界碑M,過點(diǎn)M且與OM即北偏西)的直線l在在此處的一段為領(lǐng)海與公海的分界線(如圖所示),在碼頭O北偏東方向領(lǐng)海海面上的A處發(fā)現(xiàn)有一艘疑似走私船(可疑船)停留. 基地指揮部決定在測(cè)定可疑船的行駛方向后,海警巡邏艇從O處即刻出發(fā),按計(jì)算確定方向以可疑船速度的2倍航速前去攔截,假定巡邏艇和可疑船在攔截過程中均未改變航向航速,將在P處恰好截獲可疑船.

(1)如果OA相距6海里,求可疑船被截獲處的點(diǎn)P的軌跡;

(2)若要確保在領(lǐng)海內(nèi)捕獲可疑船(即P不能在公海上).則、之間的最大距離是多少海里?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形,其中AB⊥AD,AB=2AD=2AA1=4,CD=1.
(Ⅰ)證明:BD1⊥平面A1C1D;
(Ⅱ)求BD1與平面A1BC1所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示,在矩形ABCD中,,沿對(duì)角線將折起,使點(diǎn)C移到 點(diǎn),且C點(diǎn)在平面ABD的射影O恰在AB上.

(1)求證:平面ACD;

求直線AB與平面D所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案