Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若對(duì)于區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的任意x，總有f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，求：
    ①實(shí)數(shù)k的取值范圍； 
    ②

1

x1

+

1

x2

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）≥0分離出參數(shù)k，得k≥-

|x2-1|+x2

x

，x∈（0，+∞），記g（x）=-

|x2-1|+x2

x

，則問(wèn)題等價(jià)于k≥g（x）_max，由單調(diào)性可得g（x）_max；
（2）①（i）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，方程f（x）=0為一次型方程，易判斷k≠0時(shí)有一解；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，方程f（x）=0為二次方程，可求得兩解，易判斷其一不適合，令另一解大于1小于2，可得k的范圍，綜合可得結(jié)論；（ii）由①易知兩零點(diǎn)x₁，x₂，從而可表示出

1

x1

+

1

x2

，化簡(jiǎn)可得為2x₂，結(jié)合（ii）可得結(jié)論；

解答： 解：（1）f（x）≥0⇒|x²-1|+x²+kx≥0⇒k≥-

|x2-1|+x2

x

，x∈（0，+∞），
記g（x）=-

|x2-1|+x2

x

=

- 1 x ，x∈(0，1] -2x+ 1 x ，x∈(1，+∞)

，易知g（x）在（0，1]上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴g（x）_max=g（1）=-1，
∴k≥-1；
（2）①（�。�0＜x≤1時(shí)，方程f（x）=0化為kx+1=0，k=0時(shí)，無(wú)解；k≠0時(shí)，x=-

1

k

；
（ⅱ）1＜x＜2時(shí)，方程f（x）=0化為2x²+kx-1=0，x=

-k± k2+8

4

，而其中

-k- k2+8

4

＜

-k-|k|

4

≤0，
故f（x）=0在區(qū)間（1，2）內(nèi)至多有一解x=

-k+ k2+8

4

；
綜合（�。�（ⅱ）可知，k≠0，且0＜x≤1時(shí)，方程f（x）=0有一解x=-

1

k

，故k≤-1；
1＜x＜2時(shí)，方程f（x）=0也僅有一解x=

-k+ k2+8

4

，令1＜

-k+ k2+8

4

＜2，得-

7

2

＜k＜-1，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是-

7

2

＜k＜-1；   
②方程f（x）=0的兩解分別為x₁=-

1

k

，x₂=

-k+ k2+8

4

，

1

x1

+

1

x2

=-k+

4

-k+ k2+8

=-k+

k+ k2+8

2

=

-k+ k2+8

2

=2x₂∈（2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想，恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，函數(shù)零點(diǎn)則轉(zhuǎn)化為方程根處理．