Question

已知在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n（n∈N^*），求{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；
（Ⅲ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂是a₁和a₃-1的等差中項(xiàng)，a₁=1，知2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=2^n-1，得b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn-1

n-1

=2^n-2，兩式相減能求出b_n=n•2^n-2．
（Ⅲ）由b_n=n•2^n-2，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₂是a₁和a₃-1的等差中項(xiàng)，a₁=1，
∴2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，
∴q=

a3

a2

=2，
∴an=a1qn-1=2^n-1，（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n（n∈N^*），
∴b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=2^n-1，①
∴b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn-1

n-1

=2^n-2．②
①-②，得

bn

n

=2^n-2．
∴b_n=n•2^n-2．
（Ⅲ）∵b_n=n•2^n-2，
∴S_n=1•2^-1+2•2⁰+3×2+…+n•2^n-2，③
2S_n=1•2⁰+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，④
③-④，得-S_n=

1

2

+1+2+22+…+2n-2-n•2n-1
=

1

2

+

1-2n-1

1-2

-n•2n-1
=

1

2

+2n-1-1-n•2n-1，
∴S_n=（n-1）•2^n-1+

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列求和的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用．