Question

將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=

2

，M為BE中點(diǎn)
（1）求證：AC⊥面BDE；
（2）求證：CM∥平面ADE．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證AC⊥面BDE，關(guān)鍵證明BD⊥AC，AC⊥EF，由線面垂直的判定得證；
（2）通過面面平行來證線面平行，關(guān)鍵證明面MFC∥面ADE．

解答： 證明：（1）F為BD的中點(diǎn)，連接AF、EF，由題意，BD⊥AF，BD⊥CF，AF∩CF=F，∴BD⊥面AFC，AC?面AFC，∴BD⊥AC，
∵平面ABD⊥平面CBD，CF⊥BD，∴CF⊥面ABD，由題意，AF=CF=

2

，又∵AE⊥平面ABD，AE=

2

，∴正方形AFCE，∴AC⊥EF，EF?面BDE，BD?面BDE，EF∩BD=F，∴AC⊥面BDE；
（2）M為BE中點(diǎn)，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，∴MF∥DE，又由（1）知，正方形AFCE，∴CF∥AE，MF、CF?面MFC，MF∩CF=F，AE、ED?面ADE，AE∩ED=E，∴面MFC∥面ADE，CM?面MFC，CM∥平面ADE．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直及線面平行的判定，構(gòu)造判定定理的條件是關(guān)鍵．