Question

設(shè)集合M={l|直線l與直線y=2x相交，且以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為斜率}
（1）點(diǎn)（-2，2）到M中哪條直線的距離最��？
（2）設(shè)a∈R₊，點(diǎn)P（-2，a）到M中的直線距離的最小值記為d_min，求d_min的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)直線l與直線y=2x相交于E（t，2t）．可得直線l的方程為：y-2t=t（x-t）．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)F（-2，2）到直線y=2x的距離d₁．點(diǎn)F（-2，2）到直線l的距離d₂．通過變形利用基本不等式即可比較出大�。�
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：a∈R₊，點(diǎn)P（-2，a）到M中的直線距離d=

|-2t-a+2t-t2|

t2+1

=

t2+a

t2+1

，令

t2+1

=m≥1，得到d=

m2-1+a

m

=m+

a-1

m

（m≥1）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值，通過分類討論即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)直線l與直線y=2x相交于E（t，2t）．
則直線l的方程為：y-2t=t（x-t），化為tx-y+2t-t²=0．
點(diǎn)F（-2，2）到直線y=2x的距離d₁=

|-2×2-2|

5

=

6 5

5

．
點(diǎn)F（-2，2）到直線l的距離d₂=

|-2t-2+2t-t2|

t2+1

=

t2+2

t2+1

=

t2+1

+

1

t2+1

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)取等號．
由

t2+1

+

1

t2+1

=

6

5

=

5

+

1

5

，可得

t2+1

=

5

，解得t=±2．
∴當(dāng)t=±2時(shí)，d₁=d₂．
當(dāng)t²＞4即t＞2或t＜-2時(shí)，d₂＞d₁．
當(dāng)t²＜4即-2＜t＜2時(shí)，d₂＜d₁．
（2）a∈R⁺，點(diǎn)P（-2，a）到M中的直線距離d=

|-2t-a+2t-t2|

t2+1

=

t2+a

t2+1

，
令

t2+1

=m≥1，則t²=m²-1．
∴d=

m2-1+a

m

=m+

a-1

m

（m≥1）．
d′=1-

a-1

m2

=

m2-(a-1)

m2

．
①當(dāng)a-1≤0即0＜a≤1時(shí)，d′＞0，d在m≥1單調(diào)遞增，當(dāng)m=1時(shí)，d取得最小值，d_min=1+a-1=a．
②當(dāng)a-1＞0時(shí)，令d′=0，解得m=

a-1

．
當(dāng)m＞

a-1

時(shí)，d′＞0，函數(shù)d單調(diào)遞增；當(dāng)1≤m＜

a-1

時(shí)，d′＞0，函數(shù)d單調(diào)遞減．
∴當(dāng)m=

a-1

時(shí)，d取得最小值，d_min=

a-1

+

a-1

a-1

=2

a-1

．
綜上可知：dmin=

a，當(dāng)m=1時(shí) 2 a-1 ，當(dāng)m= a-1 時(shí)

．

點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、作差法比較兩個數(shù)的大小等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．