【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x+alnx(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1 , x2(x1<x2),且不等式f(x1)≥mx2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)=2x﹣2+ = (x>0),

令f'(x)=0,得2x2﹣2x+a=0,

①當△=4﹣8a≤0,即a≥ 時,f'(x)≥0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增;

②當△=4﹣8a>0即a< 時,由2x2﹣2x+a=0,得x= ,

由f'(x)>0,得0<x< 或x> ,

由f'(x)<0,得 <x< ,

a≤0時, ≤0,f(x)在(0, )遞減,在( ,+∞)遞增,

0<a< 時,得 >0,

f(x)在(0, )遞減,在( , )遞增,

在( ,+∞)遞減;

綜上,當a≥ 時,f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,+∞);

當0<a< 時,f(x)的單調遞增區(qū)間是(0, ),( ,+∞),

單調遞減區(qū)間是( );

a≤0時,f(x)在(0, )遞減,在( ,+∞)遞增


(2)解:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有兩個極值點,

由(1)可得0<a< ,

由f'(x)=0,得2x2﹣2x+a=0,則x1+x2=1,x1= ,x2= ,

由0<a< ,可得0<x1 , <x2<1,

=1﹣x1+ +2x1lnx1

令h(x)=1﹣x+ +2xlnx,(0<x< ),h′(x)=﹣1﹣ +2lnx,

由0<x< ,則﹣1<x﹣1<﹣ , <(x﹣1)2<1,﹣4<﹣ <﹣1,

又2lnx<0,則h′(x)<0,即h(x)在(0, )遞減,

即有h(x)>h( )=﹣ ﹣ln2,即 >﹣ ﹣ln2,

即有實數(shù)m的取值范圍為(﹣∞,﹣ ﹣ln2]


【解析】(1)求出f(x)的導數(shù),令f'(x)=0,得2x2﹣2x+a=0,對判別式討論,即當a≥ 時,當0<a≤ 時,a≤0時,令導數(shù)大于0,得增區(qū)間,令導數(shù)小于0,得減區(qū)間;(2)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有兩個極值點,由(Ⅱ)可得0<a< ,不等式f(x1)≥mx2恒成立即為 ≥m,求得 =1﹣x1+ +2x1lnx1 , 令h(x)=1﹣x+ +2xlnx(0<x< ),求出導數(shù),判斷單調性,即可得到h(x)的范圍,即可求得m的范圍.
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案.

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