Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-（x+1）ln（x+1），
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m∈[0，

1

2

]，使曲線y=f′（x）與曲線y=ln（x+

1

6

）及直線x=m所圍圖形的面積S為1+

2

3

ln2-ln3，若存在，求出一個(gè)m的值，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=-ln（x+1），當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得：-1＜x＜0，當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得：x＞0，從而f（x）在（-1，0）遞增，在（0，+∞）遞減；
（2）由（1）得：f（x）在[-

1

2

，0]上遞增，在[0，1]上遞減，又f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-

1

2

）=-

1

2

+

1

2

ln2，從而t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0）時(shí)，方程f（x）=t有兩個(gè)解；
（3）存在m=0滿足條件，理由：y=f′（x）與y=ln（x+

1

6

）交點(diǎn)為（

1

2

，ln

2

3

），則S=

∫	ln 2 3 -ln6

（e^y-

1

6

）dy+

∫

0 ln 2 3

（e^-y-1）dy=1+

2

3

ln2-ln3，問(wèn)題解決．

解答： 解：（1）f′（x）=-ln（x+1），
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得：-1＜x＜0，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得：x＞0，
∴f（x）在（-1，0）遞增，在（0，+∞）遞減；
（2）由（1）得：
f（x）在[-

1

2

，0]上遞增，在[0，1]上遞減，
又f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-

1

2

）=-

1

2

+

1

2

ln2，
∴f（1）-f（-

1

2

）＜0，
∴t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0）時(shí)，方程f（x）=t有兩個(gè)解；
（3）存在m=0滿足條件，
理由：y=f′（x）與y=ln（x+

1

6

）交點(diǎn)為（

1

2

，ln

2

3

），
y=f′（x）與y軸交點(diǎn)為（0，0），
y=ln（x+

1

6

）與y軸交點(diǎn)為（0，-ln6），
則S=

∫	ln 2 3 -ln6

（e^y-

1

6

）dy+

∫

0 ln 2 3

（e^-y-1）dy
=1+

2

3

ln2-ln3，
∴存在m=0滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍問(wèn)題，定積分在面積中的應(yīng)用問(wèn)題，是一道綜合題．