Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣1）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如果過(guò)點(diǎn) 的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)（M，N點(diǎn)與A點(diǎn)不重合），求證：△AMN為直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣1），

∴b=1．

，解得a=2．

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．

（2）證明：若過(guò)點(diǎn) 的直線MN的斜率不存在，此時(shí)M，N兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)與A點(diǎn)重合，不滿足題目條件．

若過(guò)點(diǎn) 的直線MN的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則MN的方程為 ，

由 ，得 ．

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

則 ，

∴ ，

∵A（0，﹣1），

∴

=

∴AM⊥AN，∴△AMN為直角三角形．

【解析】（1）由橢圓C： =1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣1），求出b，由離心率為 ，求出a，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)MN的方程為 ，與橢圓聯(lián)立，得 ，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能證明△AMN為直角三角形．