Question

某電視臺(tái)擬舉行由選手報(bào)名參加的比賽類(lèi)型的娛樂(lè)節(jié)目，選手進(jìn)入正賽前需通過(guò)海選，參加海選的選手可以參加A、B、C三個(gè)測(cè)試項(xiàng)目，只需通過(guò)一項(xiàng)測(cè)試即可停止測(cè)試，通過(guò)海選．若通過(guò)海選的人數(shù)超過(guò)預(yù)定正賽參賽人數(shù)，則優(yōu)先考慮參加海選測(cè)試次數(shù)少的選手進(jìn)入正賽．甲選手通過(guò)項(xiàng)目A、B、C測(cè)試的概率為分別為

1

5

、

1

3

、

1

2

，且通過(guò)各次測(cè)試的事件相互獨(dú)立．
（1）若甲選手先測(cè)試A項(xiàng)目，再測(cè)試B項(xiàng)目，后測(cè)試C項(xiàng)目，求他通過(guò)海選的概率；若改變測(cè)試順序，對(duì)他通過(guò)海選的概率是否有影響？說(shuō)明理由；
（2）若甲選手按某種順序參加海選測(cè)試，第一項(xiàng)能通過(guò)的概率為p₁，第二項(xiàng)能通過(guò)的概率為p₂，第三項(xiàng)能通過(guò)的概率為p₃，設(shè)他通過(guò)海選時(shí)參加測(cè)試的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望（用p₁、p、p₃表示）；并說(shuō)明甲選手按怎樣的測(cè)試順序更有利于他進(jìn)入正賽．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）先求出甲選手不能通過(guò)海選的概率，再由對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出甲選手能通過(guò)海選的概率．（2）依題意，ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答： 解：（1）依題意，甲選手不能通過(guò)海選的概率為：
（1-

1

5

）（1-

1

3

）（1-

1

2

）=

4

15

，
故甲選手能通過(guò)海選的概率為：
1-（1-

1

5

）（1-

1

3

）（1-

1

2

）=

11

15

．
若改變測(cè)試順序?qū)λ�通過(guò)海選的概率沒(méi)有影響，
因?yàn)闊o(wú)論按什么順序，其不能通過(guò)的概率均為（1-

1

5

）（1-

1

3

）（1-

1

2

）=

4

15

，
故無(wú)論按什么順序，其能通過(guò)海選的概率都是

11

15

．
（2）依題意，ξ的可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=p₁，
P（ξ=2）=（1-p₁）p₂，
P（ξ=3）=（1-p₁）（1-p₂）×1，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	p1	（1-p1）p2	（1-p1）（1-p2）

Eξ=p₁+2（1-p₁）p₂+3（1-p₁）（1-p₂）p₃，
分別計(jì)算當(dāng)甲選手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B
的順序參加測(cè)試時(shí)，Eξ的值幾時(shí)甲選手按C→B→A的順序參加測(cè)試時(shí)，Eξ最小，
因?yàn)閰⒓訙y(cè)試的次數(shù)少的選手優(yōu)先進(jìn)入正賽，故該選手將自己的優(yōu)勢(shì)項(xiàng)目放在前面，
即按C→B→A的順序參加測(cè)試更有利用于進(jìn)入正賽．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．