【題目】【2017福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時，求證：過點(diǎn)有三條直線與曲線相切；

（Ⅱ）當(dāng)時， ，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】

解法一：（Ⅰ）當(dāng)時， ，

設(shè)直線與曲線相切，其切點(diǎn)為，

則曲線在點(diǎn)處的切線方程為： ，

因?yàn)榍芯�過點(diǎn)，所以，

即 ，

∵，∴，

設(shè)，

∵， ， ，

∴在三個區(qū)間上至少各有一個根

又因?yàn)橐辉畏匠讨炼嘤腥齻�根，所以方程恰有三個根，

故過點(diǎn)有三條直線與曲線相切．

（Ⅱ）∵當(dāng)時， ，即當(dāng)時，

∴當(dāng)時， ，

設(shè)，則，

設(shè)，則．

（1）當(dāng)時，∵，∴，從而（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）

∴在上單調(diào)遞增，

又∵，∴當(dāng)時， ，從而當(dāng)時， ，

∴在上單調(diào)遞減，又∵，

從而當(dāng)時， ，即

于是當(dāng)時， ．

（2）當(dāng)時，令，得，∴，

故當(dāng)時， ，

∴在上單調(diào)遞減，

又∵，∴當(dāng)時， ，

從而當(dāng)時， ，

∴在上單調(diào)遞增，又∵，

從而當(dāng)時， ，即

于是當(dāng)時， ，

綜合得的取值范圍為．

解法二：（Ⅰ）當(dāng)時， ，

，

設(shè)直線與曲線相切，其切點(diǎn)為，

則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

因?yàn)榍芯�過點(diǎn)，所以，

即 ，

∵，∴

設(shè)，則，令得

當(dāng)變化時， ， 變化情況如下表：

+

0

-

0

+

↗

極大值

↘

極小值

↗

∴恰有三個根，

故過點(diǎn)有三條直線與曲線相切．

（Ⅱ）同解法一．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（2x+ ）﹣ cos（2x+ ）．
（1）數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（α）= ，α∈（0， ），求cosα的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B=2sinAsinC．
（1）若a=b，求cosB的值；
（2）若B=60°，△ABC的面積為4 ，求b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．
（1）當(dāng)a=2時，解不等式f（x）≤﹣ ；
（2）若存在實(shí)數(shù)x，使得不等式f（x）≥a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【2017山西孝義考前熱身】已知函數(shù) (是常數(shù)),

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}，{bn}，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，向量 =（1，bn）， =（an﹣1，Sn）， ∥ ．
（1）若bn=2，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；
（2）若bn= ，a2=0．
①證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
②設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn= ，問是否存在正整數(shù)l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比數(shù)列，若存在，求出l、m的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，其中， 是自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，證明： .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）對任意的x都滿足f（x+1）=﹣f（x），當(dāng)﹣1≤x＜1時，f（x）=x3 ， 若函數(shù)g（x）=f（x）﹣loga|x|至少6個零點(diǎn)，則a取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題錯誤的是（ ）
A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
B.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案