Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，證明： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（I）由于函數(shù)單調(diào)遞增，故導(dǎo)函數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，分離常數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此得到的取值范圍；（II）將原不等式，轉(zhuǎn)化為，令，求出的導(dǎo)數(shù)，對(duì)分成兩類，討論函數(shù)的最小值，由此證得，由此證得.

試題解析：

（Ⅰ）， 是上的增函數(shù)等價(jià)于恒成立.

令，得，令（）.以下只需求的最大值.

求導(dǎo)得，

令， ， 是上的減函數(shù)，

又，故1是的唯一零點(diǎn)，

當(dāng)， ， ， 遞增；當(dāng)， ， ， 遞減；

故當(dāng)時(shí)， 取得極大值且為最大值，

所以，即的取值范圍是.

（Ⅱ） .

令（），以下證明當(dāng)時(shí)， 的最小值大于0.

求導(dǎo)得 .

①當(dāng)時(shí)， ， ；

②當(dāng)時(shí)， ，令，

則 ，又 ，

取且使，即，則 ，

因?yàn)?/span>，故存在唯一零點(diǎn)，

即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，又，

且，即，故，

因?yàn)?/span>，故是上的減函數(shù).

所以 ，所以.

綜上，當(dāng)時(shí)，總有.