Question

已知圓C：x²+（y-2）²=1，過P（1，0），作圓C的切線，切點A，B．
（1）求直線PA、PB的直線方程；
（2）求弦長|AB|；
（3）若Q點是x軸上的動點，過Q點作圓C的切線．切點為G、H，求四邊形GCHQ的面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）若k存在，設(shè)直線PA：y=k（x-1），由圓心到切線距離等于半徑，能求出直線PA；若k不存在，PB：x=1也是圓的一條切線．
（2）利用等面積法能求出|AB|．
（3）設(shè)Q（m，0），S_{四邊形GCHQ}=GH×QH，由此能求出當(dāng)Q（0，0）時，四邊形GCHQ的面積的最小值為

3

．

解答： 解：（1）圓C：x²+（y-2）²=1，過P（1，0），
作圓C的切線，切點A，B，
若k存在，設(shè)直線PA：y=k（x-1），
d=

|2+k|

k2+1

=1，解得k=-

3

4

，
∴直線PA：y=-

3

4

(x-1)，整理，得3x+4y-3=0．
若k不存在，PB：x=1也是圓的一條切線，
∴直線PB：x=1．
（2）∵半徑r=1，PC=

5

，PB=2，
∴

1

2

PC×

AB

2

=

1

2

BC×BP，
∴AB=

BC×BP

PC

×2=

4 5

5

．
（3）設(shè)Q（m，0），
S_{四邊形GCHQ}=GH×QH，
∵CQ=

m2+4

，QH=

CQ2-CH2

=

m2+3

，
∴S_{四邊形GCHQ}=

m2+3

≥

3

，
∴當(dāng)Q（0，0）時，四邊形GCHQ的面積的最小值為

3

．

點評：本題考查圓的切線方程的求法，考查弦長的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．