Question

給出以下三個關于x的不等式：①x²-4x+3＜0，②

3

x+1

＞1，③2x²+m²x+m＜0．若③的解集非空，且滿足③的x至少滿足①和②中的一個，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：不等式的基本性質

專題：不等式的解法及應用

分析：分別求得①、②的解集，可得它們的并集，由題意可得，方程2x²+m²x+m=0的兩個實數根都在區(qū)間[-1，3]內，令f（x）=2x²+m²x+m，則由題意可得

f(-1)≥0 f(3)≥0 -1＜- m2 4 ＜3 △=m4-8m＞0

，由此求得m的范圍．

解答： 解：由：①x²-4x+3＜0可得1＜x＜3；由②

3

x+1

＞1可得

x-2

x+1

＜0，即-1＜x＜2；
由③2x²+m²x+m＜0的解集非空，可得△=m（m³-8）＞0，即m＞2，或 m＜0．
①②解集的并集為（-1，3），故方程2x²+m²x+m=0的兩個實數根都在區(qū)間[-1，3]內，
令f（x）=2x²+m²x+m，則由題意可得

f(-1)≥0 f(3)≥0 -1＜- m2 4 ＜3 △=m4-8m＞0

．
解得-1≤m＜0，
故答案為[-1，0）．

點評：本題主要考查集合的運算及分式不等式、一元二次不等式的基本解法，體現(xiàn)了轉化的數學思想，屬于基礎題．