Question

函數(shù)h（x）=

1

x

-x，若不等式h（x）•h（2k-x）≥（

1

k

-k）²在（0，2k）上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=h（x）•h（2k-x），令y=2k-x，t=xy，則f（x）═

1-4k2

t

+t+2，根據(jù)“對勾函數(shù)”單調(diào)性，將不等式h（x）•h（2k-x）≥（

1

k

-k）²在（0，2k）上恒成立轉(zhuǎn)化為

k2≤ 1-4k2 k＞0 1-4k2＞0

，解不等式組即可求出k的范圍．

解答： 解：∵x∈（0，2k）
∴2k-x＞0，
令y=2k-x，則x、y∈R⁺，
∴2k=x+y≥2

xy

，
令t=xy，則0＜t≤k²，
∴f（x）=h（x）•h（2k-x）
=(

1

x

-x)(

1

y

-y)
=

1

xy

+xy-

x2+y2

xy

=

1

xy

+xy-

(x+y)2-2xy

xy

=

1

t

+t-

4k2-2t

t

=

1-4k2

t

+t+2，
當(dāng)1-4k²≤0時，f（x）無最小值，不合題意；
當(dāng)1-4k²＞0時，f（x）在（0，

1-4k2

）上遞減，在（

1-4k2

，+∞）上遞增，
且f（k²）=

1

k2

+k2-2=（

1

k

-k）²，
∴f（x）≥（

1

k

-k）²在（0，2k）上恒成立等價于

k2≤ 1-4k2 k＞0 1-4k2＞0

，
即

0＜k＜ 1 2 k≤ 5 -2

，
解得，0＜k≤

5 -2

，
∴實數(shù)k的取值范圍是(0，

5 -2

]．

點評：本題考查換元法的靈活應(yīng)用，轉(zhuǎn)化與化歸的技巧，對勾函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式等知識與技能的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，屬于難題．