Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+bx+c在x=1處的切線是y=（3a-3）x-3a+4．
（1）試用a表示b和c；
（2）求函數(shù)f（x）≥-

3

2

在[1，3]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），求出f′（1），根據(jù)條件求出f（1），列出方程，得到b=3a，c=3-3a；
（2）求參數(shù)a的取值范圍，實(shí)際上就是求參數(shù)的最值問題．

解答： 解：（1）∵為f'（x）=3x²-6x+b，
∴f'（1）=-3+b=3a-3，f（1）=b+c-2=1，
即有b=3a，c=-3a+3．
（2）由（1）可知f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，
x3-3x2+3ax-3a+3≥-

3

2

，
3ax-3a≥-x3+3x2-

9

2

，
3a(x-1)≥-x3+3x2-

9

2

，
當(dāng)x=1時(shí)，成立，a∈R，
當(dāng)x≠1時(shí)，3a≥

-x3+3x2- 9 2

x-1

，
令t=x-1，3a≥

-t3+3t- 5 2

t

=-t2+3-

5 2

t

令g(t)=-t2+3-

5 2

t

，（0＜t≤2），
∴以g′(t)=-2t+

5 2

t2

=

-2t3+ 5 2

t2

，g′(t)＞0⇒t＜(

5

4

)

1

3

，g′(t)＜0⇒t＞(

5

4

)

1

3

，
g(t)max=g((

5

4

)

1

3

)=3-3(

5

4

)

2

3

，3a≥3-3(

5

4

)

2

3

，
故a≥1-(

5

4

)

2

3

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合運(yùn)用，利用切線求參數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，也就求最值問題，是一道綜合題．