Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是

 

．
①對(duì)任意x∈（-∞，1），都有f（x）＜0；
②存在x∈R，使a^x，b^x，c^x不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；
③若△ABC為鈍角三角形，存在x∈（1，2）使f（x）=0．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①變形f(x)=cx[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，由0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
可得(

a

c

)x+(

b

c

)x-1＞

a

c

+

b

c

-1＞0，進(jìn)而得到f（x）＞0，即可判斷出；
②令x=-1，a=2，b=4，c=5．則a^x=

1

2

，b^x=

1

4

，c^x=

1

5

，即可判斷出；
③若三角形為鈍角三角形，利用余弦定理可得：a²+b²-c²＜0．由于f（1）＞0，f（2）＜0．
利用函數(shù)零點(diǎn)判定定理即可判斷出．

解答： 解：①f(x)=cx[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，由0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
對(duì)?x∈（-∞，1），(

a

c

)x+(

b

c

)x-1＞

a

c

+

b

c

-1＞0，∴f（x）＞0，∴命題①不正確；
②令x=-1，a=2，b=4，c=5．則a^x=

1

2

，b^x=

1

4

，c^x=

1

5

，不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)．
∴命題②正確；
③若三角形為鈍角三角形，則a²+b²-c²＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0．
∴?x∈（1，2），使f（x）=0．因此③正確．
綜上可知：只有②③正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、組成三角形三邊的關(guān)系、余弦定理、函數(shù)零點(diǎn)存在判斷定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了變形轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題的能力，屬于難題．