Question

有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋼板，將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，然后焊接成一個(gè)無(wú)蓋的蓄水池，截去的小正方形的邊長(zhǎng)x為

 

m時(shí)，蓄水池的容積最大．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：應(yīng)用題

分析：設(shè)蓄水池的底面邊長(zhǎng)為a，則a=6-2x，則蓄水池的容積為：V（x）=x（6-2x）²．求導(dǎo)得V'（x）=12x²-48x+36．再令V'（x）=12x²-48x+36=0，得x=1或x=3（舍）．并求得V（1）=16．由V（x）的單調(diào)性知，16為V（x）的最大值．由此能求出截去的小正方形的邊長(zhǎng)x為多少時(shí)，蓄水池的容積最大．

解答： 解：設(shè)蓄水池的底面邊長(zhǎng)為a，則a=6-2x，
則蓄水池的容積為：V（x）=x（6-2x）²．
得V'（x）=12x²-48x+36．
令V'（x）=12x²-48x+36＞0，
解得x＜1或x＞3；
令V'（x）=12x²-48x+36＜0，解得1＜x＜3．
∵函數(shù)V（x）的定義域?yàn)閤∈（0，3），
∴函數(shù)V（x）的單調(diào)增區(qū)間是：（0，1）；函數(shù)V（x）的單調(diào)減區(qū)間是：（1，3）．
令V'（x）=12x²-48x+36=0，
得x=1或x=3（舍）．
并求得V（1）=16．
由V（x）的單調(diào)性知，16為V（x）的最大值．
故截去的小正方形的邊長(zhǎng)x為 1m時(shí)，蓄水池的容積最大，其最大容積是16m³．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題．易錯(cuò)點(diǎn)是理不清數(shù)量間的相互關(guān)系，不能正確地建立方程．