Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+1

1-ax

（a＞0且a≠0），函數(shù)g（x）與f（x）的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱．
（1）求g（x）的解析式；
（2）判斷g（x）在（1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)奇偶性的判斷,反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)關(guān)于y=x對(duì)稱的解析式即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系即可判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵g（x）與f（x）的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，
∴g（x）=f^-1（x），
∵f（x）=

ax+1

1-ax

=

ax-1+2

1-ax

=-1-

2

ax-1

，
∴y＞1或y＜-1，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閧y|y＞1或y＜-1}，
由y=f（x）=

ax+1

1-ax

得ax=

y-1

y+1

，
即x=loga

y-1

y+1

，
∴f-1(x)=loga

x-1

x+1

，
即g（x）=f-1(x)=loga

x-1

x+1

，（x＞1或x＜-1）．
（2）∵

x-1

x+1

=

x+1-2

x+1

=1-

2

x+1

，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y=

x-1

x+1

單調(diào)遞增，
若a＞1，則g（x）=f-1(x)=loga

x-1

x+1

單調(diào)遞增，
若0＜a＜1，則g（x）=f-1(x)=loga

x-1

x+1

，單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了反函數(shù)的求法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用單調(diào)性確定函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是理解對(duì)數(shù)的單調(diào)性．