【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣ 與x=1時都取得極值.
(1)求a、b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對x∈[﹣1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.

【答案】
(1)解;f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b

解得,

f'(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2)(x﹣1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:

x

(﹣∞,﹣

(﹣ ,1)

1

(1,+∞)

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

極大值

極小值

所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(﹣∞,﹣ )和(1,+∞),遞減區(qū)間是(﹣ ,1).


(2)解; ,

當(dāng)x=﹣ 時,f(x)= +c為極大值,而f(2)=2+c,所以f(2)=2+c為最大值.

要使f(x)<c2對x∈[﹣1,2]恒成立,須且只需c2>f(2)=2+c.

解得c<﹣1或c>2


【解析】(1)求出f′(x),因為函數(shù)在x=﹣ 與x=1時都取得極值,所以得到f′(﹣ )=0且f′(1)=0聯(lián)立解得a與b的值,然后把a、b的值代入求得f(x)及f′(x),然后討論導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的增減區(qū)間;(2)根據(jù)(1)函數(shù)的單調(diào)性,由于x∈[﹣1,2]恒成立求出函數(shù)的最大值值為f(2),代入求出最大值,然后令f(2)<c2列出不等式,求出c的范圍即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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(1)已知家庭的年結(jié)余y對年收入x具有線性相關(guān)關(guān)系,求線性回歸方程;
(2)若該市的居民戶年結(jié)余不低于5萬,即稱該居民戶已達小康生活,請預(yù)測居民戶達到小康生活的最低年收入應(yīng)為多少萬元? 附:在y=bx+a中,b= ,a= ,其中 為樣本平均值.

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D.(﹣∞,+∞)

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A.1
B.2
C.3
D.4

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