【題目】如圖,在矩形ABCD中, ,點E,H分別是所在邊靠近B,D的三等分點,現(xiàn)沿著EH將矩形折成直二面角,分別連接AD,AC,CB,形成如圖所示的多面體.
(1)證明:平面BCE∥平面ADH;
(2)證明:EH⊥AC;
(3)求二面角B-AC-D的平面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)折疊前、后不變量得AH∥BE,DH∥EC,根據(jù)線面平行判定定理得AH∥平面BCE,DH∥平面BCE,再根據(jù)面面平行判定定理得平面BCE∥平面ADH.(2)先過點A作EH的垂線交EH于點O,由面面垂直性質(zhì)定理得AO⊥平面EHC,再由直二面角定義得CO⊥EH,因此根據(jù)線面垂直判定定理得EH⊥平面AOC,即得EH⊥AC.(3)根據(jù)條件作出二面角B-AC-O平面角BQP,并根據(jù)直角三角形求出,最后根據(jù)二面角B-AC-D的平面角為BQP,并利用二倍角余弦公式求值.
試題解析:(1)證明:由折疊前、后圖形對比可知,在矩形ABCD中有AH∥BE,DH∥EC,
又∵AH∩DH=H,BE∩CE=E,∴平面BCE∥平面ADH.
(2)證明:在多面體中,過點A作EH的垂線交EH于點O,連接OC.
∵二面角A-EH-C為直二面角,∴AO⊥平面EHC.
由對稱性可知CO⊥EH,又AO∩CO=O.
∴EH⊥平面AOC,而平面AOC,∴EH⊥AC.
(3)解:過點B在平面ABEH內(nèi)作BP⊥AO垂足為P,過點P在平面AOC內(nèi)作PQ⊥AC垂足為Q,連接BQ.∵△ABO是邊長為3的等邊三角形,∴點P為中點, .
∵△AOC是直角邊長為3的等腰直角三角形,∴.
又∵CO⊥平面ABEH,∴CO⊥BP,BP⊥AO,AO∩CO=O,∴BP⊥平面AOC.
∴BQP為二面角B-AC-O的平面角,在直角三角形BPQ中,
∴.
設(shè)二面角B-AC-D的平面角為,∴.
所以二面角B-AC-D的平面角的余弦值為.
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【題目】已知向量 =(sinx,cosx), =(sin(x﹣ ),sinx),函數(shù)f(x)=2 ,g(x)=f( ).
(1)求f(x)在[ ,π]上的最值,并求出相應(yīng)的x的值;
(2)計算g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2014)的值;
(3)已知t∈R,討論g(x)在[t,t+2]上零點的個數(shù).
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【題目】將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移φ(0<φ< )個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對滿足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2 , 有|x1﹣x2|min= ,則φ=( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 )的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為 ,且圖象上一個最低點為 .
(1)求f(x)的解析式;
(2)當(dāng) ,求f(x)的值域.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的半焦距為c,且過點,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)A為橢圓E上異于頂點的一點,點P滿足,過點P的直線交橢圓E于B,C兩點,且,若直線OA,OB的斜率之積為,求證: .
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【題目】三棱錐S﹣ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC且AC=2,BC= , SB= .
(1)證明:SC⊥BC;
(2)求三棱錐的體積VS﹣ABC
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【題目】在棱長為的正方體上,分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方形,則截去個三棱錐后,剩下的幾何體的體積是( ).
A. B. C. D.
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和點B(3,0),與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線在x軸下方上的動點,過點M作MN∥y軸交直線BC于點N,求線段MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)MN取得最大值時,在拋物線的對稱軸l上是否存在點P,使△PBN是等腰三角形?若存在,請直接寫出所有點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】百子回歸圖是由1,2,3…,100無重復(fù)排列而成的正方形數(shù)表,它是一部數(shù)化的澳門簡史,如:中央四位“19 99 12 20”標(biāo)示澳門回歸日期,最后一行中間兩位“23 50”標(biāo)示澳門面積,…,同時它也是十階幻方,其每行10個數(shù)之和,每列10個數(shù)之和,每條對角線10個數(shù)之和均相等,則這個和為.
.
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