Question

已知點(diǎn)F是拋物線Γ：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)M（x₀，1）到F的距離為2．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB：y=x+b與曲線Γ相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中垂線與y軸的交點(diǎn)為（0，4），求b的值．
（Ⅲ）拋物線Γ上是否存在異于點(diǎn)A、B的點(diǎn)C，使得經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓和拋物線L在點(diǎn)C處有相同的切線．若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件利用拋物線定義知：1+

p

2

=2，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ） 由

y=x+b x2=4y

，得x²-4x-4b=0，△=16-16b＞0，x₁+x₂=4，由此求出AB的中垂線為y=-x+4-b，從而能求出b=0．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知A（0，0），B（4，4），假設(shè)拋物線L上存在異于點(diǎn)A、B的點(diǎn)C(t，

t2

4

)，t≠0滿足題意，令圓的圓心為N（a，b），則

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

，由此能求出存在點(diǎn)C，且坐標(biāo)為（-2，1）．

解答： 解：（Ⅰ）∵F是拋物線Γ：x²=2py（y＞0）的焦點(diǎn)，
∴F（

p

2

，0），
∵點(diǎn)M（x₀，1）到F的距離為2，
∴依拋物線定義知：1+

p

2

=2，解得p=2，
∴拋物線為x²=4y----（3分）
（Ⅱ） 由

y=x+b x2=4y

，得x²-4x-4b=0，
∴△=16-16b＞0，x₁+x₂=4，
∴AB的中點(diǎn)為（2，2+b），∴AB的中垂線為

y-(2+b)

x-2

=-1，即y=-x+4-b，
依題意可知（0，4）在垂線上，
∴4=0+4-b，解得b=0．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知A（0，0），B（4，4），
假設(shè)拋物線L上存在異于點(diǎn)A、B的點(diǎn)C(t，

t2

4

)，t≠0滿足題意，
令圓的圓心為N（a，b），
則由

NA=NB NA=NC

，得

a2+b2=(a-4)2+(b-4)2 a2+b2=(a-t)2+(b- t2 4 )2

，
整理，得

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t2

，解得

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

，（10分）
∵拋物線L在點(diǎn)C處的切線斜率k=y′|x=t=

t

2

，（t≠0），（11分）
又該切線與NC垂直，∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1，整理，得2a+bt-2t-

1

4

t3=0，
∴2(-

t2+4t

8

)+t•

t2+4t+32

8

-2t-

1

4

t3=0，
整理，得t³-2t²-8t=0，
∵t≠0，t≠4，∴t=-2．故存在點(diǎn)C，且坐標(biāo)為（-2，1）．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在 判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．