Question

已知直線l的參數(shù)方程為

x= 3 - 3 2 t y=-1+ 1 2 t

（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=

2

cos（θ+

π

4

）（極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合）．
（Ⅰ）求直線l被曲線C所截的弦長；
（Ⅱ）將曲線C以極點(diǎn)為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到曲線C′．使得曲線C′與直線l相切，求α角的最小正值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）直線l的普通方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程，可得圓心到直線的距離，即可求出求直線l被曲線C所截的弦長；
（Ⅱ）求出以極點(diǎn)為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角后，圓心的極坐標(biāo)，可得直角坐標(biāo)，利用曲線C′與直線l相切，即可求α角的最小正值．

解答： 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為

x= 3 - 3 2 t y=-1+ 1 2 t

（t為參數(shù)），普通方程為x+

3

y=0，
曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=

2

cos（θ+

π

4

），直角坐標(biāo)方程為(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，
圓心到直線的距離為d=

3 -1

4

，
∴直線l被曲線C所截的弦長為2

1 2 -( 3 -1 4 )2

=

3 +1

2

；
（Ⅱ）以極點(diǎn)為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角后，圓心的極坐標(biāo)為（

2

2

，α-

π

4

），
∴C′（

2

2

cos（α-

π

4

），

2

2

sin（α-

π

4

）），半徑為

2

2

，
∵曲線C′與直線l相切，
∴|

2 2 cos(α- π 4 )+ 6 2 sin(α- π 4 )

2

|=

2

2

，
∴α=

π

12

±

π

2

+2kπ（k∈Z），
∴α角的最小正值為

7π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的參數(shù)方程化普通方程，考查直線的極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．