Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^3}+{x^2}，（x＜1）\\ c（{e^{x-1}}-1），（x≥1）\end{array}\right.$，
（Ⅰ）若f[f（-1）]=e-1，求c的值；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點A，B使得△AOB是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，求實數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）當c=e時，討論關(guān)于x的方程f（x）=kx（k∈R）的實根的個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^3}+{x^2}，（x＜1）\\ c（{e^{x-1}}-1），（x≥1）\end{array}\right.$，將x=-1代入可得c的方程，解得c的值；
（Ⅱ）根據(jù)條件知A，B的橫坐標互為相反數(shù)，分類討論滿足條件的c的范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案；
（Ⅲ）將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=k與y=f（x），將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題解決

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^3}+{x^2}，（x＜1）\\ c（{e^{x-1}}-1），（x≥1）\end{array}\right.$，
∴f[f（-1）]=f（2）=c（e-1）=e-1，
∴c=1
（Ⅱ）∵△AOB是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，
∴A，B的橫坐標互為相反數(shù)，
不妨設(shè)A（-t，t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．
若0＜t＜1，則f（t）=-t³+t²，
由題意 $\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，
此時t=0，不合題意，舍去；
若t≥1，則f（t）=c（e^t-1-1）．
由于AB的中點在y軸上，且∠AOB是直角，所以B點不可能在x軸上，即t≠1．
同理由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即-t²+（t³+t²）•c（e^t-1-1）=0，
∴c=$\frac{1}{（t+1）（{e}^{t-1}-1）}$．
由于函數(shù)g（t）=$\frac{1}{（t+1）（{e}^{t-1}-1）}$（t＞1）的值域是（0，+∞），
∴實數(shù)c的取值范圍是（0，+∞）
（III）方程f（x）=kx，知kx=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{3}+{x}^{2}，（x＜1）\\{e}^{x}-e，（x≥1）\end{array}\right.$，可知0一定是方程的根，
所以僅就x≠0時進行研究：方程等價于k=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+{x}^{\;}，（x＜1，x≠0）\\{\frac{1}{x}（e}^{x}-e），（x≥1）\end{array}\right.$
構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+{x}^{\;}，（x＜1，x≠0）\\{\frac{1}{x}（e}^{x}-e），（x≥1）\end{array}\right.$
對于x＜1且x≠0部分，函數(shù)g（x）=-x²+x的圖象是開口向下的拋物線的一部分，
當x=$\frac{1}{2}$時取得最大值$\frac{1}{4}$，其值域是（-∞，0）∪（0，$\frac{1}{4}$]；
對于x≥1部分，函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x}{（e}^{x}-e）$，由g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+e}{{x}^{2}}$＞0，知函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，①當$k＞\frac{1}{4}$或k≤0時，方程f（x）=kx有兩個實根；
②當$k=\frac{1}{4}$時，方程f（x）=kx有三個實根；
③當$0＜k＜\frac{1}{4}$時，方程f（x）=kx有四個實根．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，以及研究方程根的個數(shù)問題，此類問題首選的方法是圖象法即構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)圖象解題，其次是直接求出所有的根