Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

4

-y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上，當(dāng)△F₁PF₂的面積為1時(shí)，

PF1

•

PF2

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線

x2

4

-y²=1的方程可求得兩焦點(diǎn)F₁、F₂的坐標(biāo)及|F₁F₂|，再由△F₁PF₂面積為1可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可求得

PF1

•

PF2

的值．

解答： 解：∵雙曲線的方程為

x2

4

-y²=1，
∴兩焦點(diǎn)F₁、F₂的坐標(biāo)分別為（-

5

，0），（

5

，0），
∴|F₁F₂|=2

5

，
∵△F₁PF₂面積為1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
則

1

2

|F₁F₂||n|=1，
∴|n|=

5

5

，不妨取n=

5

5

，
將點(diǎn)P（m，

5

5

）的坐標(biāo)代入雙曲線的方程

x2

4

-y²=1得：m=±

2 30

5

，不妨取m=

2 30

5

，
則P（

2 30

5

，

5

5

），
∴

PF1

=（-

2 30

5

-

5

，-

5

5

），

PF2

=（-

2 30

5

+

5

，-

5

5

），
∴

PF1

•

PF2

=

24

5

-5+

1

5

=0，
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)是關(guān)鍵，屬于中檔題．