【題目】設函數(shù)f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它們在x=1處的切線互相平行.

(1)求b的值;

(2)若函數(shù)且方程F(x)=a2有且僅有四個解,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1);(2)

【解析】試題分析:(1)由處的切線互相平行得, ,解方程求出值.
(2)分別求出求出的極值和的極值,結合單調(diào)性畫出的圖象,結合圖象可得若方程有四個解,則 ,解不等式求得實數(shù)的取值范圍.

試題解析:函數(shù)g(x)=bx2-ln x的定義域為(0,+∞),

(1)f′(x)=3ax2-3af′(1)=0,

g′(x)=2bxg′(1)=2b-1,

依題意得2b-1=0,所以b.

(2)x∈(0,1)時,g′(x)=x<0,

g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

x∈(1,+∞)時,g′(x)=x>0,即g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當x=1時,g(x)取得極小值g(1)=;當a=0時,方程F(x)=a2不可能有四個解;

a<0,x∈(-∞,-1)時,f′(x)<0,即f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,x∈(-1,0)時,f′(x)>0,

f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,

所以當x=-1時,f(x)取得極小值f(-1)=2a,

f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖①所示,

從圖象可以看出F(x)=a2不可能有四個解.

a>0,x∈(-∞,-1)時,f′(x)>0,

f()在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,

x∈(-1,0)時,f′(x)<0,

f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,

所以當x=-1時,f(x)取得極大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖②所求,

從圖②看出,若方程F(x)=a2有四個解,則a2<2a

a<2,

所以,實數(shù)a的取值范圍是.

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喜愛打籃球

不喜愛打籃球

合計

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5

女生

10

合計

50

已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學生的概率為

(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整;

(2)是否有99%的把握認為“喜愛打籃球與性別有關”?說明你的理由.

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