Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+ωx）-

3

cos2ωx-1（ω＞0）的最小正周期為

2π

3

（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，求f（x）的值域．
（Ⅲ）不畫圖，說明函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2ωx-

π

3

）-1，根據(jù)函數(shù)的最小正周期為

2π

3

，求得ω的值．
（Ⅱ）由以上可得，f（x）=2sin（3x-

π

3

），由x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+ωx）-

3

cos2ωx-1=1-cos（

π

2

+2ωx）-

3

cos2ωx-1
=sin2ωx-

3

cos2ωx=2sin（2ωx-

π

3

） （ω＞0），
根據(jù)函數(shù)的最小正周期為

2π

3

，可得

2π

2ω

=

2π

3

，求得ω=

3

2

．
（Ⅱ）由以上可得，f（x）=2sin（3x-

π

3

），當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，3x-

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（3x-

π

3

）∈[-

1

2

，1]，故f（x）的值域?yàn)閇-1，2]．
（Ⅲ）把y=sinx的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，可得函數(shù)y=sin（x-

π

3

）的圖象；
再把所得圖象上個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="v7vpzx5" class="MathJye">

1

3

倍，縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)y=sin（3x-

π

3

）的圖象；
再把所得圖象上個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，可得函數(shù)y=2sin（3x-

π

3

）的圖象．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．