如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在線段CA1上，且不與點(diǎn)C、A1重合．
（1）若
CA1
=4
CF
，求平面AEF與平面ACF的夾角的余弦值；
（2）求點(diǎn)F到直線AB距離d的最小值．
考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,用空間向量求平面間的夾角,二面角的平面角及求法
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AEF與平面ACF的夾角的余弦值．
（2）設(shè)F（0，t，4-t），（0＜t＜4），利用向量法能示出點(diǎn)F到直線AB距離d的最小值．
解答： 解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則由已知得：A（0，0，0），B（2
3
，2，0），
C（0，4，0），A1（0，0，4），E（
3
，3，0）
F（0，3，1）于是
AF
=(0，3，1)，
AE
=(
3
，3，0)．
設(shè)平面AEF的法向量為
n
=(x，y，z)，
則
n
•
AF
=0
n
•
AE
=0
，
即
x-y-2=0
3y+z=0
，取y=-1，得
n
=(
3
，-1，3)
取平面ACF的法向量為
m
=(1，0，0)，
設(shè)平面AEF與平面ACF的夾角為θ，則cosθ=|cos＜
n
，
m
＞|=
3
13
=
39
13
．
∴平面AEF與平面ACF的夾角的余弦值為
39
13
．
（2）設(shè)F（0，t，4-t），（0＜t＜4），
AF
=(0，t，4-t)，
AB
=(2
3
，2，0)．
cos＜
AF
，
AB
＞=
t
2
t2+(4-t)2
，
d=|
AF
|•|sin＜
AF
，
AB
＞|
=|
AF
|•
1-cos2＜
AF
，
AB
＞

=
7t2-32t+64
2
，
當(dāng)t=
16
7
時(shí)，dmin=
4
21
7
，
∴點(diǎn)F到直線AB距離d的最小值為
4
21
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面夾角的余弦值的求法，考查點(diǎn)到直線的距離的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知函數(shù)f（x）=2x-x2，問(wèn)方程f（x）=0在區(qū)間[-1，0]內(nèi)是否有解，為什么？
（2）若方程ax2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，
（1）求a、b的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=
g(x)
x
，試判斷f（x）在區(qū)間[2，3]上的單調(diào)性并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C1：
x2
2
-y2=1的兩條漸近線方程分別為l1，l2，A，B分別為l1，l2上的兩點(diǎn)，|AB|=
2
，且動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+
OB
．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程C2；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)S（0，-
3
5
）且斜率為k的動(dòng)直線l交曲線C2于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以EF為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線C1：
x=cosθ
y=
3
6
sinθ
（θ為參數(shù)），C2：
x=
2
2
+t•cosα
y=t•sinα
（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）將C1、C2的方程化為普通方程；
（Ⅱ）若C2與C1交于M、N，與x軸交于P，求|PM|•|PN|的最小值及相應(yīng)α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x+a）2+lnx．
（1）當(dāng)a=
2
時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且x1∈（0，
1
2
），證明：f（x1）-f（x2）＞
3
4
-ln2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=2|x-1|+|x+2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空集合，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+2x-2-a（a≤0），
（1）若a=-1，求函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)在區(qū)間（0，1]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，已知sinA•sinB•cosC=sinA•sinC•cosB+sinB•sinC•cosA，若a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，則
ab
c2
的最大值為
 
．

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