Question

已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，
（1）求a、b的值；
（2）設函數(shù)f（x）=

g(x)

x

，試判斷f（x）在區(qū)間[2，3]上的單調性并證明．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），可知函數(shù)在區(qū)間[2，3]上是單調函數(shù)，故可建立方程組，從而可求a、b的值；
（2）利用導數(shù)判斷并證明f（x）在區(qū)間[2，3]上的單調遞增．

解答： 解：（1）g（x）=ax²-2ax+1+b，函數(shù)的對稱軸為直線x=1，由題意得：
①

a＞0 g(2)=1+b=1 g(3)=3a+b+1=4

得a=1，b=0；
②

a＜0 g(2)=1+b=4 g(3)=3a+b+1=1

得a=-1，b=3＞1（舍去）
∴a=1，b=0；
（2）g（x）=x²-2x+1，f（x）=

g(x)

x

=x+

1

x

-2，
∴f′（x）=1-

1

x2

，
∵x∈[2，3]，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在區(qū)間[2，3]上的單調遞增．

點評：本題考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．