Question

數(shù)列{a_n}的首項a₁=-20，a_n+a_n+1=3n-54，n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè){a_n}的前n項和為S_n，求S_n的最小值？

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）易求a₂=-31，則a_n+1+a_n+2=3n-51，a_n+a_n+1=3n-54，兩式作差，得a_n+2-a_n=3，即奇數(shù)項成等差，偶數(shù)項成等差，分n為奇數(shù)、偶數(shù)分別求得；
（2）分n為偶數(shù)、奇數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，由等差數(shù)列求和公式分別求和，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)可得最值；

解答： 解：（1）a₁=-20，a₂=-31，
又a_n+1+a_n+2=3n-51，a_n+a_n+1=3n-54，
則a_n+2-a_n=3，即奇數(shù)項成等差，偶數(shù)項成等差，且公差均為3，
∴an=

3 2 n- 43 2 ，n為奇數(shù) 3 2 n-34，n為偶數(shù)

；
（2）當(dāng)n為偶數(shù)，即n=2k時：Sn=-51k+

k(k-1)

2

×6=3(k-9)2-243，
∴S_n≥S₁₈=-243；
當(dāng)n為奇數(shù)，即n=2k-1時：Sn=S2k-a2k=3(k-

19

2

)2-236

3

4

，
∴S_n≥S₁₇=S₁₉=-236，
∴（S_n）_min=S₁₈=-243．

點評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、數(shù)列求和、等差數(shù)列通項公式及二次函數(shù)性質(zhì)，考查分類討論思想，屬中檔題．