Question

（本題滿(mǎn)分12分）如圖，三角形和梯形所在的平面互相垂直， ，，是線段上一點(diǎn)，．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)滿(mǎn)足平面？并說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在點(diǎn)G，理由見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)D，連接GD,CD， 1分

又GB=GF，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061406054117353337/SYS201506140606153780795496_DA/SYS201506140606153780795496_DA.003.png">，所以,

四邊形GDCE是平行四邊形， 2分

所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061406054117353337/SYS201506140606153780795496_DA/SYS201506140606153780795496_DA.006.png">平面ABC，CD平面ABC

所以EG∥平面ABC． 4分

（Ⅱ）因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，

且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，所以AF⊥AB，AF⊥BC 5分

因?yàn)锽C⊥AB，所以BC⊥平面ABF．如圖，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．

則F（0,0,2），B（2,0,0），C（2,2,0），E（2,2,1）， 6分

是平面ABF的一個(gè)法向量．

設(shè)平面BEF的法向量，則

，即

令y=1，則z=-2,x=-2，所以,

所以， 8分

故二面角E-BF-A的正弦值為。 9分．

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061406054117353337/SYS201506140606153780795496_DA/SYS201506140606153780795496_DA.016.png">，所以BF與AE不垂直, 11分

所以不存在點(diǎn)G滿(mǎn)足BF⊥平面AEG． 12分

考點(diǎn)：本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定，二面角的求法，利用空間向量解決面面角，直線與平面的

位置關(guān)系