Question

【題目】已知等比數列的公比，且，是、的等差中項.

（1）求數列的通項公式；

（2）試比較與的大小，并說明理由；

（3）若數列滿足，在每兩個與之間都插入個2，使得數列變成了一個新的數列，試問：是否存在正整數，使得數列的前項和？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）,詳見解析（3）存在，使得

【解析】

（1）根據條件列出方程組，解基本量即可.（2）由（1）可知通項為：，對通項裂項可得：，從而可求出前n項和，即可比較出大小關系.（3）由（2）可知：數列中含有 含有個2，所以數列中，的前所有項之和為，求出S，代入k的具體值，可知當時，，當時，，所以在的基礎之上加上471個2可得，把前面所有項的個數加起來即可得到m的值.

解：（1）由是，的等差中項，得，

∴,解得.

∴，從而，

∵，∴解得.

∴，從而.

（2）由（1）知.

∴

（3）.

根據題意，數列中，（含項）前的所有項的和為：

.

當時，，

當時，，

又∵,

∴時，，

∴存在，使得.