【題目】對于數(shù)列:、、、、,若不改變,僅改變、、、中部分項(xiàng)的符號(可以都不改變),得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列,如僅改變數(shù)列、、、、的第二、三項(xiàng)的符號,可以得到一個生成數(shù)列:、、、、.已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)寫出的所有可能的值;
(2)若生成數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求;
(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明:對于給定的,的所有可能值組成的集合為.
【答案】(1)、、、;(2);(3)證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)生成數(shù)列定義,可知當(dāng)時,,、分別為、中取值,由此給出的所有可能的情況,即可計算出的所有可能值;
(2)利用,分、、三種情況討論,利用分組求和與等比數(shù)列的求和公式即可求得;
(3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)時命題成立;②假設(shè)當(dāng)時,,證明出,結(jié)合歸納原理即可證明出結(jié)論成立.
(1)由題意得,,
根據(jù)生成數(shù)列的定義,可得,,
又,,,,
因此,所有可能的取值為、、、;
(2),
當(dāng)時,;
當(dāng)時,;
當(dāng)時,.
綜上所述:;
(3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)時,,命題成立;
②假設(shè)當(dāng)時,命題成立,即所有可能值的集合為.
由假設(shè)得.
則當(dāng)時,.
即或,
即,
當(dāng)時,命題成立.
由①②知,對于給定的,的所有可能值組成的集合為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn),所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組,,第五組,右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖,已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于以下四個命題:①兩條異面直線有無數(shù)條公垂線;②直線在平面內(nèi)的射影是直線;③如果兩條直線在同一個平面內(nèi)的射影平行,那這兩條直線平行;④過兩條異面直線的一條有且僅有一個平面與已知直線平行;上述命題中為真命題的個數(shù)為( )個
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:的焦點(diǎn)為,其準(zhǔn)線:與軸的交點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,證明:存在實(shí)數(shù),使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn),以為直徑的圓與準(zhǔn)線有公共點(diǎn),若,則_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,已知、.
(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線,直線交邊于,交邊于,且與的面積之比為,求直線的方程;
(2)若是一個動點(diǎn),且的面積為,試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:,直線過定點(diǎn).
(1)若與圓相切,求的方程;
(2)若與圓相交于,兩點(diǎn),求三角形面積的最大值,并求此時的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次足球邀請賽共安排了支球隊參加,每支球隊預(yù)定的比賽場數(shù)分別是,,…,.若任兩支球隊之間至多安排了一場比賽,則稱是一個“有效安排”.證明:若是一個有效安排,且,則可去掉一支球隊,并重新調(diào)整各隊之間的對局情況,使也是一個有效安排.
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