Question

13．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，⊙C的半徑是1，MN是⊙C直徑，求：$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$的最大值及此時$\overrightarrow{MN}$與$\overrightarrow{AB}$的關(guān)系．

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．則A$（-\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$，B$（\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$．設(shè)M（cosθ，sinθ），N（-cosθ，-sinθ）（θ∈[0，2π））．可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=-$2\sqrt{2}$cosθ-1≤2$\sqrt{2}$-1，當(dāng)且僅當(dāng)θ=π時取等號．即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
則A$（-\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$，B$（\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$．
設(shè)M（cosθ，sinθ），N（-cosθ，-sinθ）（θ∈[0，2π））．
$\overrightarrow{AM}$=（cosθ+$\sqrt{2}$，sinθ$+\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BN}$=（-cosθ-$\sqrt{2}$，-sinθ+$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=-2$\sqrt{2}$cosθ-1≤2$\sqrt{2}$-1，
當(dāng)且僅當(dāng)θ=π時取等號．
此時$\overrightarrow{AB}$=$（2\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{MN}$=（2，0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{MN}$，共線．

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．